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CALCUL SPINORIEL

LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Définition: En mathématique, une "équation différentielle" (E.D.) est une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées jusqu'à l'ordre n. "L'ordre" d'une équation différentielle correspond au degré maximal de différentiation auquel une des fonctions inconnues y a été soumise.

Par rapport à notre objectif d'essayer de voir comment les mathématiques décrivent la réalité, les équations différentielles remportent un franc succès, mais sont également la source de bien des soucis. D'abord des difficultés de modélisation (voir par exemple le système d'équation différentielles de la relativité générale...), des difficultés de résolution (il n'existe pas de méthode générale!), puis des difficultés proprement mathématiques, enfin des difficultés liées au fait que certaines équations différentielles ne sont pas stables par nature et donnent des solutions chaotiques (voir le chapitre de dynamique des populations pour des exemples simples flagrants!).

Remarque: Les équations différentielles sont utilisées pour construire des modèles mathématiques de phénomènes physiques et biologiques, par exemple pour l'étude de la radioactivité ou la mécanique céleste. Par conséquent, les équations différentielles représentent un immense champ d'étude, aussi bien en mathématiques pures qu'appliquées

L'équation différentielle d'ordre n la plus générale peut toujours s'écrire sous la forme :

  (10.1)

Nous ne considérons sur ce site que le cas où x et y sont à valeur dans . Une solution à une telle E.D. sur l'intervalle  est une fonction  (une fonction  qui est n fois continûment dérivable) telle que pour tout , nous ayons :

  (10.2)

Remarques:

R1. Pour des raisons qui seront développés par la suite, nous disons aussi "intégrer l'E.D." au lieu de "trouver une solution à l'E.D.".

R2. Etant donné que tout le site internet est bourré d'exemples d'équations différentielles et de méthodes de résolutions dans les chapitres sur la mécanique, la physique atomique, la cosmologie, l'économétrie, les suites et séries, etc., nous ne ferons pas d'exemples ici et nous intéresserons donc qu'à l'aspect théorique minimal.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU 1ER ORDRE

Une équation différentielle du 1er ordre est donc une E.D. qui ne fait intervenir que la première dérivée y'.

Définition: Une équation différentielle du 1er ordre est dite "E.D. d'ordre 1 à variables séparées" si elle peut s'écrire sous la forme :

  (10.3)

Une telle équation différentielle peut s'intégrer facilement. En effet, nous écrivons :

  (10.4)

Puis symboliquement :

  (10.5)

Remarque: Nous écrivons ici explicitement la constante d'intégration arbitraire  (qui est implicitement présente dans les intégrales indéfinies) pour ne pas l'oublier!

Il s'agit donc d'abord de trouver des primitives F et G de f et de g, et ensuite d'exprimer y en terme de x (et de C) :

  (10.6)

La constante d'intégration est fixée lorsqu'on demande que pour un  donnée, nous ayons une valeur donnée de . Nous parlons alors de "problème aux valeurs initiales".

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES

Définition: Une équation différentielle d'ordre n est dite "E.D. linéaire" (E.D.L.) si et seulement si elle est de la forme :

  (10.7)

Avec :

  (10.8)

Voyons maintenant une propriété qui peut sembler négligeable du premier coup d'oeil qui va prendre de l'importance plus loin!

Nous allons montrer que L est une application linéaire :

  (10.9)

Et pour tout  :

  (10.10)

Définition: L'équation différentielle (c'est la plus courante en physique) :

  (10.11)

s'appelle "équation homogène" (E.H.) ou "équation sans second membre" (ESSM) associée à :

  (10.12)

Nous allons maintenant démontrer une propriété importantes des E.H. : l'ensemble  des solutions de E.H. est le noyau de l'application linéaire L (ce qui rappelons-le signifie : ) et l'ensemble {S} des solutions à  est donné par :

 avec   (10.13)

c'est-à-dire que les solutions de la forme:

  (10.14)

où  est une "solution particulière" de  et   la "solution homogène", parcourent toutes les solutions de l'E.D.

Démonstration:

La première affirmation sera supposée évidente.

En ce qui concerne la 2ème partie, toute fonction de la forme  est solution de .

En effet c'est trivial et cela découle de la définition du concept de noyau (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles) :

  (10.15)

C.Q.F.D.

Ce qu'il est important aussi de comprendre avec les E.D. linéaires avec second membre, c'est que si nous trouvons des solutions à L(y) avec un second membre donné et des solutions à la même E.D. avec un autre second membre (différent!), alors la somme de toutes ces solutions, sera solution de l'E.D. avec la somme des seconds membres!!!

Il existe de nombreuses manières de résoudre les équations différentielles linéaires ou non linéaires de manière exacte ou approchée. Citons les quelques méthodes que nous analyserons plus loin par l'exemple (mais qui se trouvent déjà de nombreuses fois dans le chapitres de physique) :

- La méthode du polynôme caractéristique (voir plus bas)

- La méthode des perturbations (voir plus bas)

La méthode de variation de la constante ne sera pas présentée car basée sur une hypothèse empirique elle est dangereuse d'usage en physique!

MÉTHODE DU POLYNÔME CARACTÉRISTIQUE

La résolution des équations différentielles simples (à coefficients constants et sans seconde membre la plupart du temps...) utilise une technique faisant appel à un polynôme caractéristique de l'équation différentielle dont nous verrons les détails dans les développements à suivre sur quelques cas particuliers courants en physique.

C'est une méthode relativement simple à mettre en place lorsque nous cherchons les solutions homogènes de l'équation sans second membre (ESSM). Dans le cas contraire, celui de la présence d'un seconde membre, nous additionnons les solutions de l'équation homogènes aux solutions particulières.

RÉSOLUTION  L'E.H. DE L'E.D.L. A COEFFICIENTS CONSTANTS D'ORDRE 1

Considérons l'E.D.L. à coefficient constant suivante:

    (10.16)

Nous écrivons son équation homogène associée:

  (10.17)

Ce qui peut s'écrire:

  (10.18)

d'où :

  (10.19)

Il y a derrière cette solution homogène une infinité de solutions : à chaque valeur donnée à C correspond une solution.

Il faut encore à cette solution homogène ajouter la solution particulière  et nous disposons pour cela d'une collection de recettes, qui dépendent du type de la fonction f(x) du second membre de l'équation. Nous les verrons au cas par cas dans les différents chapitres de Physique.

RÉSOLUTION  L'E.H. DE L'E.D.L. A COEFFICIENTS CONSTANTS D'ORDRE 2

Considérons l'E.D.L. à coefficient constant suivante:

    (10.20)

Nous écrivons son équation homogène associée:

  (10.21)

dans laquelle la fonction second membre est nulle. Nous pouvons immédiatement entrevoir une solution du type (en s'inspirant de la forme des solutions des E.D. du 1er ordre):

  (10.22)

où  est une constante.

Ce qui nous donne alors:

  (10.23)

Ce que nous pouvons simplifier en:

  (10.24)

Si notre hypothèse de départ est bonne, nous n'avons qu'à résoudre en K cette "équation caractéristique" (ECAR) ou "polynôme caractéristique" de l'équation homogène pour trouver la solution homogène:

  (10.25)

dont les solutions dépendent du signe du discriminant du polynôme caractéristique :

  (10.26)

- Si le discriminant est strictement positif, soit :

Alors nous savons que le polynôme caractéristique possède deux racines distinctes et nous avons alors:

  (10.27)

où  et . Nous disons alors que la solution est "retardée" ou "avancée" selon les valeurs de ces constantes. Mais l'essentiel est de remarque que si  est solution, alors  est toujours solution!

Nous parlons alors de "solution générale de l'équation homogène". Il y a derrière ce résultat une infinité de solutions : à chaque valeur donnée aux constantes A, B correspond une solution.

Les physiciens écrivent aussi parfois cela sous une forme particulière en posant d'abord:

  (10.28)

avec donc:

  (10.29)

Et en utilisant les fonctions de trigonométrie hyperbolique (cf. chapitre de Trigonométrie):

  (10.30)

d'où finalement la possibilité d'écrire la solution homogène sous la forme (lorsque nous omettons l'avance ou le retard ) :

  (10.31)

Par ailleurs, montrons que les solutions de l'ESSM forment un espace vectoriel de dimension 2 (correspond donc à l'ordre de notre E.D.)!

En effet:

- La fonction zéro:  est solution de l'ESSM (ça c'est inutile à démontrer... évident!).

- La somme ou soustraction des solutions reste solution (ça nous l'avons déjà démontré plus haut)

- Les éléments de la base de l'espace vectoriel (les solutions de l'ESSM) sont linéairement indépendants (ça c'est intéressant car nous en aurons besoin!).

Posons:

  (10.32)

Alors:

  (10.33)

Donc l'équation différentielle à coefficients constants :

  (10.34)

s'écrit alors:

  (10.35)

Donc nous avons bien une structure d'espace vectoriel.

Rappelons que inversement deux fonction sont linéaire dépendantes si:

  (10.36)

- Si le discriminant est nul, soit :

L'équation caractéristique possède une racine double réelle K.

En allant un peu vite nous dirons alors:

  (10.37)

et que c'est fini... mais au fait ce serait oublié que la base vectorielle doit être formée de deux solutions indépendantes!

Donc la deuxième solution est probablement de la forme:

  (10.38)

Alors:

  (10.39)

Si nous l'injectons dans l'ESSM:

  (10.40)

alors:

  (10.41)

Or :

  (10.42)

Donc:

  (10.43)

Donc finalement:

  (10.44)

Ce qui donne pour la solution générale de l'ESSM:

  (10.45)

- Si le discriminant est nul, soit :

L'équation caractéristique possède deux racines complexes conjuguées (cf. chapitre d'Algèbre):

  (10.46)

Dès lors:

  (10.47)

Or, si nous cherchons plutôt des solutions réelles, nous pouvons toujours poser A et B égaux tels que:

  (10.48)

Et si nous posons que le retard, ou l'avance est nulle (), alors nous retrouvons la relation disponible dans la plupart des livres:

  (10.49)

où A' et B' sont donc deux constantes réelles quelconques. Il existe une autre forme importante à cette dernière relation (souvent utilisée en électronique par exemple). Effectivement, Il est possible, pour tout A' et B' réels, de trouver C' et  réels tels que l'égalité suivante est vérifiée:

  (10.50)

Nous posons:

  (10.51)

alors:

  (10.52)

Il est alors possible de trouver  tel que :

  et     (10.53)

La quantité de départ s'écrit ainsi:

  (10.54)

Finalement:

  (10.55)

méthode RÉGULIÈRE DES PERTURBATIONS

Très fréquemment en physique (de pointe), un problème mathématique ne peut pas être résolu de manière exacte. Si la solution est connue il y a parfois une telle dépendance de paramètres que la solution est difficile à utiliser en tant que tel.

Il peut être le cas, cependant, qu'un paramètre identifié, disons  par tradition, tel que la solution est disponible est raisonnablement simple pour .

Le souci ensuite est de savoir comme la solution est altérée pour un  non-nul mais petit quand même. Cette étude est le centre de la théorie des perturbations que nous utilisons par exemple dans le chapitre de relativité générale pour calculer la précession du périhélie de Mercure.

Comme la théorie dans le cadre général est trop complexe par rapport aux objectifs du site, nous nous proposons une approche par l'exemple d'abord avec une simple équation algébrique et ensuite avec ce qui nous intéresse : une E.D.

THÉORIE PERTURBATIVE DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

Considérons l'équation polynômiale suivante :

  (10.56)

Nous savons de par notre étude du chapitre d'analyse fonctionnelle, que cette équation polynômiale admet deux racines qui sont trivialement :

  (10.57)

Pour  petit, ces racines peuvent être approximées par le premier terme en développement de série de Taylor (cf. chapitre de Suites Et Séries) :

  (10.58)

La question et de savoir si nous pouvons obtenir les deux relations précédentes sans à priori de connaissances sur la solution exacte de l'équation polynômiale initiale? La réponse est bien évidemment affirmative avec l'aide de la théorie des perturbations.

La technique se base en quatre étapes :

1. Dans la première étape, nous assumons que la solution de l'équation polynômiale est un expression du type série de Taylor en . Nous avons alors :

  (10.59)

où  sont bien évidemment à déterminer.

2. Dans la deuxième étape, nous injectons la solution hypothétique dans notre équation polynômiale :

  (10.60)

Comme :

  (10.61)

et :

  (10.62)

Il vient finalement que l'équation polynômiale s'écrit :

  (10.63)

3. Dans la troisième étape nous égalisons successivement les termes avec 0 tel que :

  (10.64)

4. Quatrième et dernière étape, nous résolvons successivement les équations polynômiales ci-dessus pour obtenir :

  (10.65)

En injectant ces résultants dans la solution hypothétique :

  (10.66)

il est évident d'observer que nous retombons sur la solution certaine :

  (10.67)

THÉORIE PERTURBATIVE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

La théorie des perturbations est aussi souvent utilisée pour résoudre un bon nombre d'équations différentielles. C'est le cas par exemple en mécanique des fluides, en relativité générale ou en physique quantique.

A nouveau, plutôt que de faire une théorie ultra abstraite et générale, voyons le concept sur un exemple tel que précédemment.

Considérons l'équation différentielle suivante :

  (10.68)

ou autrement écrit :

  (10.69)

avec les conditions aux limites .

La résolution exacte est relativement facile à obtenir:

D'abord nous commençons par l'équation homogène :

  (10.70)

C'est donc une équation différentielle linéaire d'ordre 2 avec des coefficients constants, équation qu'il est relativement aisé de résoudre dans le cas général. Soit l'équation :

  (10.71)

Supposons que la fonction y qui satisfait cette équation différentielle soit de la forme où K peut être un nombre complexe. Nous avons alors :

 ou   (10.72)

pourvu, bien sûr, que . Cette dernière relation est donc l'équation quadratique auxiliaire de l'équation différentielle (polynôme caractéristique). Elle a deux solutions/racines (c'est une simple résolution d'un polynôme du deuxième degré) que nous noterons dans le cas général : . Ce qui signifie que :

 et   (10.73)

est satisfait pour les deux racines. Si nous faisons la somme puisque les deux sont égales à la même constante :

  (10.74)

Ainsi, il est immédiat que la solution générale de l'équation homogène de y est du type :

  (10.75)

où A, B sont bien évidemment des constantes à déterminer. Nous résolvons maintenant le polynôme caractéristique :

  (10.76)

Il vient immédiatement que :

  (10.77)

Donc :

  (10.78)

Maintenant une solution particulière à :

  (10.79)

est relativement trivialement une solution du type :

  (10.80)

où B est bien évidemment une constante à déterminer et qui vaut simplement une fois injectée dans l'équation différentielle :

  (10.81)

Soit :

  (10.82)

D'où finalement la solution générale :

  (10.83)

Ensuite, avec les conditions initiales  il est très facile de trouver A :

  (10.84)

et :

  (10.85)

Il est loisible de choisir que .

Donc :

  (10.86)

Maintenant que nous avons la solution générale, si  est petit nous pouvons prendre le développement d'ordre 4 en série de MacLaurin de l'exponentielle (cf. chapitre de Suites Et Séries). Tel que :

  (10.87)

Injecté dans y cela donne :

  (10.88)

Maintenant que nous avons ce développement, ce que nous souhaitons montrer c'est qu'à partir d'un développement perturbatif nous pouvons retrouver le même résultat en série et ce sans aucune connaissance préalable sur la solution.

A nouveau, le développement pour cela ce fait en 4 étapes :

1. Dans la première étape, nous assumons que la solution de l'équation différentielle est un expression du type série de Taylor en . Nous avons alors :

  (10.89)

où  sont bien évidemment à déterminer.

2. Dans la deuxième étape, nous injectons la solution hypothétique dans notre équation différentielle dans celle-ci avec les conditions initiales et nous développons le tout.

D'abord l'équation différentielle :

  (10.90)

ensuite les conditions initiales :

  (10.91)

3. Dans la troisième étape nous égalisons successivement les termes avec 0 tel que :

  (10.92)

4. Dans la quatrième étape nous résolvons les équations différentielles listées précédemment (si vous ne voyez pas comment nous les résolvons n'hésitez pas à nous contacter!) :

  (10.93)

En injectant ces relations dans la solution supposée développée en série de Taylor et injectée dans l'équation différentielle :

  (10.94)

Nous retombons sur :

  (10.95)

SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Voyons maintenant des développements qui vont aussi bien être utiles en physique quantique que dans la résolution de systèmes d'équations différentielles (et particulièrement une qui est connue en théorie du chaos!).

Avant cela, il va nous falloir introduire le concept d'exponentialisation d'une matrice:

L'ensemble des matrices  à coefficients dans  noté  est un espace vectoriel pour l'addition des matrices et la multiplication par un scalaire. Nous notons I la matrice identité.

Nous admettrons qu'une suite de matrices  convergent vers une matrice A si et seulement si les suites de coefficients des matrices  convergent vers les coefficients correspondent de A.

Exemple:

Dans  la suite de matrices:

  (10.96)

converge vers:

  (10.97)

lorsque.

Si, nous avons vus lors de notre étude des nombres complexes (cf. chapitre sur les Nombres) que la série:

  (10.98)

converge et sa limite est notée . En fait ici il n'y a aucune difficulté à remplacer x par une matrice A puisque nous savons (nous l'avons montré lors de notre étude des nombres complexes) que tout nombre complexe peut s'écrire sous la forme suivante (le corps des nombres complexes est donc isomorphe au corps des matrices réelles carrées de dimensions 2 ayant cette forme):

  (10.99)

et qu'un nombre complexe au carré est équivalent à mettre sa forme matricielle au carré:

  (10.100)

Effectivement:

  (10.101)

Nous définissons alors l'exponentielle d'une matrice  comme la matrice limite de la suite:

  (10.102)

Si la matrice A est diagonale il est évident que son exponentielle est facile à calculer. En effet, si:

  (10.103)

Par suite:

  (10.104)

Or, il apparaît évident qu'une matrice non diagonale va être beaucoup plus compliquée à traiter! Nous allons alors utiliser la technique de diagonalisation soit une réduction des endomorphismes (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire).

Alors, remarquons que si  est inversible et si  alors:

  (10.105)

Ceci découle du fait que (penser au changement de base d'une application linéaire comme ce qui a été étudié dans le chapitre d'Algèbre Linéaire):

  (10.106)

Donc:

  (10.107)

Ce développement va nous permettre de ramener le calcul de l'exponentielle d'une matrice diagonalisable à la recherche de ses valeurs propres et de ses vecteurs propres.

Exemple:

Calculons  où:

  (10.108)

Les valeurs propres de A sont,  et les vecteurs propres associés sont:

  (10.109)

Effectivement:

 et   (10.110)

En posant:

  (10.111)

Nous avons:

  (10.112)

avec:

  (10.113)

Par conséquent:

  (10.114).

Maintenant, rappelons que dans le cas des nombres réels nous savons que si  alors . Dans le cas des matrices nous pouvons que si  sont deux matrices qui commutent entre-elles c'est-à-dire telles que . Alors .

La condition de commutativité vient au fait que l'addition dans l'exponentielle est elle commutative. La démonstration est donc intuitive.

Un corollaire important de cette proposition est que pour toute matrice,  est inversible. En effet les matrices  et  commutent, par conséquent:

  (10.115)

Nous rappelons qu'une matrice  à coefficients complexes est unitaire si:

  (10.116)

La proposition suivante nous servira par la suite.

Montrons que si A est une matrice hermitienne (dite aussi "autoadjointe") (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) alors pour tout ,  est unitaire.

Démonstration:

  (10.117)

Donc:

  (10.118)

C.Q.F.D.

Rappelons que cette condition pour une matrice autoadjointe est liée à la définition de groupe unitaire d'ordre n (cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste).

Une des premières applications de l'exponentielle de matrices est la résolution des équations différentielles ordinaires. En effet, de l'équation différentielle linéaire ci-dessous avec comme condition initiale  et où A est une matrice :

  (10.119)

la solution est donnée (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral) par:

  (10.120)

Nous retrouvons fréquemment ce genre de systèmes d'équations différentielles en biologie (dynamique des populations), en astrophysique (étude des plasmas) ou en mécanique des fluides (théorie du chaos) ainsi que mécanique classique (systèmes couplés), en astronomie (orbites couplées), en électrotechnique, etc.

Exemple:

Supposons que nous ayons le système d'équations différentielles suivant:

  (10.121)

La matrice associée est alors:

  (10.122)

et son exponentielle (voir les développements faits plus haut):

  (10.123)

La solution générale du système est donc:

  (10.124)

Nous avons donc:

  (10.125)

Après recherche des constantes nous trouvons:

  (10.126)

ce qui nous donne finalement:

  (10.127)