Omniprésentes dans l'industrie (aérospatiale, imagerie, cryptographie, tranports, chimie,…), ou dans les services (banques, assurances, ressourches humaines, projets, logistique, architectuure, télécom…), les mathématiques appliquées apparaissent aussi dans de nombreux autres secteurs : sondages, modélisation des risques, protection des données… Elles interviennent dans notre vie quotidienne ( télécommunications, transports, médecine, météorologie, musique…) et contribuent à la résolution de problématiques actuelles : énergie, santé, environnement, climatologie, optimisation, développement durable…

À ce titre, ancien étudiant dans le domaine de l'ingénierie, j'ai souvent regretté l'absence d'un ouvrage assez complet, détaillé (sans aller dans l'extrême...) et pédagogique si possible gratuit (!) et portatif contenant au moins une idée de l'ensemble du programme de mathématique appliquée des écoles d'ingénieurs et présentant une vue d'ensemble de ce qui est utilisé dans la réalité des entreprises. Un ouvrage qui ne nécessite pas non plus à devoir s'adapter chaque fois à une nouvelle notation ou au vocabulaire spécifique à l'auteur quand il ne s'agit pas de changer carrément de langue... et ou tout à chacun peut proposer des améliorations ou des compléments.

J'ai été de plus aussi frustré pendant mes études à devoir ingurgiter assez souvent des "formules" ou des "lois" soit disant (et à tort) indémontrables ou trop compliquées selon mes professeurs ou même déçu de livres d'auteurs renommés (dont les développements sont laissés au soin du lecteur ou comme exercice...). Bien qu'aujourd'hui je doive admettre effectivement que la démonstration de certaines relations présentées dans le cadre des cursus des écoles d'ingénieurs ne puisse se faire faute de temps dans le planning scolaire ou de place dans un livre, je ne peux accepter qu'un professeur ou un auteur dise à son étudiant (respectivement, son lecteur) que certaines lois sont indémontrables (car la plupart du temps c'est faux) ou que telle ou telle démonstration est trop compliquée sans lui donner une référence bibliographique (où l'étudiant puisse trouver l'information nécessaire à sa curiosité) ou au moins une démonstration infiniment simplifiée et satisfaisante.

Par ailleurs, j'estime totalement archaïque que certains professeurs continuent de faire prendre des notes de cours de manière massive à leurs étudiants. Il serait beaucoup plus favorable et optimal de distribuer un support de cours contenant tous les détails et ce afin de pouvoir se concentrer sur l'essentiel avec les élèves c'est-à-dire les explications orales, l'interprétation, la compréhension et la mise en pratique plutôt que la copie de tableau noir à outrance... Bien évidemment donner un cours complet fait que certains étudiants brillent par leur absence mais... c'est tant mieux! Ainsi, ceux qui sont passionnées peuvent approfondir les sujets à la maison ou à la bibliothèque universitaire, les médiocres feront ce qu'ils ont à faire et pour le reste (élèves en difficultés mais travailleurs) ils suivront le cours donné par le professeur pour profiter de poser des questions plutôt que de recopier bêtement un tableau noir.

Alors, dans mon esprit, ce site doit pouvoir se substituer, gratuitement, à de nombreuses références et lacunes du système, permettant ainsi à tout étudiant curieux de ne pas être frustré pendant de longues années durant son cursus de formation. Sans quoi, la science de l'ingénieur prend alors l'aspect rébarbatif d'une science figée, à l'écart de l'évolution scientifique et technique, d'une accumulation hétéroclite de connaissances et surtout de formules qui la font considérer comme un sous-produit insipide des mathématiques et qui amène dans les entreprises à de nombreux faux résultats...

Ceux qui voient la mathématique appliquée que comme un outil (ce qu'elle est aussi), ou comme l'ennemi des croyances religieuses, ou encore comme un domaine scolaire rébarbatif, sont légion. Il est cependant peut-être utile de rappeler que, comme le disait Galilée, "le livre de la Nature est écrit dans le langage des mathématiques" (sans vouloir faire de scientisme!). C'est dans cet esprit que ce site aborde la mathématique appliquée pour les étudiants en sciences de la Nature, de la Terre et de la Vie, ainsi que pour tous ceux qui exercent une profession liée à ces diverses matières y compris la philosophie ou pour toute personne curieuse de s'informer de l'implication des sciences dans la vie quotidienne.

La frontière entre la philosophie et les sciences pures et exactes est très ténue. Effectivement, comme le relate Platon dans le Phédon, Socrate à ses dernières heures s'est entouré de ses amis et disciples, dont Cébès et Simmias (deux pythagoriciens) considérés par Socrate comme interlocuteurs privilégiés. Ce n'est pas un hasard puisqu'il convient alors de philosopher, déjà, en s'inspirant du modèle pythagoricien qui fait des mathématiques une voie nécessaire d'accès à la vérité, seule capable de se frayer un chemin fiable pour aborder des sujets aussi importants que ceux de l'âme et de sa destinée...

Le choix de traiter l'ingénierie ici comme une branche de la mathématique appliquée provient certainement du fait que l'ensemble des domaines de la physique (anciennement dénommée "philosophie naturelle") et la mathématique sont à ce jour tellement peu discernables que la médaille de Fields (la plus haute récompense de nos jours dans le domaine de la mathématique) a été décernée en 1990 au physicien Edward Witten, qui a utilisé des idées physiques pour redémontrer un théorème mathématique. Cette tendance n'est certainement pas fortuite, car nous pouvons observer que toute science, dès qu'elle cherche à atteindre une compréhension plus détaillée du sujet qu'elle étudie, voit finalement toujours sa course aboutir dans les mathématiques pures (la voie absolue par excellence...). Ainsi, pouvons-nous présager dans un futur lointain, la convergence de toutes les sciences (pures, exactes ou sociales) vers la mathématique pour la modélisation (lire à titre d'exemple le document PDF "L'explosion des mathématiques" disponible dans la rubrique Téléchargement du site).

Il peut parfois nous paraître difficile (à cause d'une crainte aussi obscure et irrationnelle que non justifiée des sciences pures chez une importante fraction de nos contemporains) de transmettre le sentiment de beauté mathématique de la nature, de son harmonie la plus profonde et de la mécanique parfaitement huilée de l'Univers, à ceux qui ne connaissent que les rudiements du calcul formel. Le physicien R. Feynmann a parlé une fois de "deux cultures": les gens qui ont, et ceux qui n'ont pas eu une compréhension suffisante des mathématiques pour apprécier la structure scientifique de la nature. Il est bien dommage qu'il y faille cependant des mathématiques et que celles-ci aient aussi mauvaise réputation. Pour l'anecdote, on prétend qu'un roi ayant demandé à Euclide de lui enseigner la géométrie se plaignit de sa difficulté. Euclide répondit: "il n'y a pas de voie royale". Les physiciens et mathématiciens ne peuvent se convertir à un autre langage. Si vous voulez apprendre à connaître la nature, à l'apprécier à sa juste valeur, vous devez comprendre son langage. Elle ne se révèle que sous cette forme et nous ne pouvons être prétentieux au point de lui demander de changer afin que nous ne consentions à nous occuper d'elle.

Au même titre, aucune discussion intellectuelle ne vous permettra de communiquer à un sourd ce que vous ressentez vraiment en écoutant de la musique. De même, toutes les discussions du monde resteront impuissantes à transmettre une compréhension intime de la nature à ceux de "l'autre culture". Les philosophes et théologiens peuvent essayer de vous donner des idées qualitatives sur l'Univers. Le fait que la méthode scientifique (au sens plein du terme) ne puisse convaincre le monde entier de sa justesse et de sa pureté, trouve peut-être sa cause dans l'horizon limité de certaines gens qui sont amené à s'imaginer que l'homme ou qu'un autre concept intuitif, sentimental ou arbitraire est le centre de l'Univers (principe anthropocentrique).

Certes, dans le but de partager ce savoir mathématique, il est paradoxal de vouloir augmenter, avec notre travail, la liste déjà longue des ouvrages disponibles dans les bibliothèques, dans le commerce et sur l'Internet. Néanmoins, il faut être en mesure de présenter une argumentation solide qui justifie la création d'un tel site en comparaison à des ouvrages comme ceux de Feynmann, Landau ou de Bourbaki. Voici donc les quelques arguments qui paraissent cependant susceptibles d'être présentés:

1. Le grand plaisir que je prends à cette entreprise ("garder la main" et progresser).

2. La passion du partage gratuit et sans frontières de la connaissance (au en français...).

3. Le caractère évolutif et pratique d'un document électronique libre (outils de recherche efficaces).

4. Le contenu évolutif en fonction de la demande !!!

5. La présentation rigoureuse avec des démonstrations simplifiées de beaucoup de concepts.

6. La présentation du plus grand nombre d'outils mathématiques utilisés dans les entreprises.

7. La possibilité pour les étudiants et professeurs de réutiliser le contenu par copier/coller.

8. Une notation constante et fixe, dans tout l'ouvrage, pour les opérateurs mathématiques, un langage clair, rigoureux sur tous les sujets abordés (critère des 3.C. : clair, complet et concis)

9. Rassembler le maximum d'informations sur les sciences pures et exactes en un seul ouvrage électronique (portatif), homogène et rigoureux.

10. Dégager, de toutes les pseudo-vérités, les seules vérités qui se démontrent.

11. Tirer bénéfice de l'évolution des méthodes pédagogiques scolaires qui utilisent l'Internet pour chercher la solution à des problèmes de mathématiques.

12. L'amélioration spectaculaire des logiciels automatiques de traduction et de la puissance des ordinateurs qui feront de ce site, je le souhaite, une référence dans les domaine des sciences dures.

Et aussi... je considère que les résultats de la recherche individuelle sont la propriété de l'humanité et qu'ils doivent être mis à la disposition de tous ceux qui explorent où que ce soit les phénomènes de la nature. De cette façon le travail de chacun profite à tous, et c'est pour toute l'humanité que s'amassent nos connaissances ce qui est dans la tendance que permet l'Internet.

Je ne cache pas, que ma contribution se limite en grande partie à ce jour à celle d'un collectionneur qui glane ses informations dans les ouvrages des maîtres ou dans les publications ou pages Internet d'anonymes et qui complète et argumente les développements en les améliorant quand ceci est encore possible. Quant à ceux qui voudraient m'accuser de plagiat , ils devraient réfléchir au fait que les théorèmes présentés dans la plupart des ouvrages payants et disponibles dans le commerce ont été découverts et rédigés par leurs illustres prédécesseurs et que leur propre apport personnel a aussi constitué, comme le mien, à mettre toutes ces informations sous une forme claire et moderne quelques centaines d'années plus tard. De plus, il peut être vu comme douteux que l'on fasse payer l'accès à une culture qui est certainement la seule véritablement valable et juste dans ce bas monde et sur lequel il n'y a ni brevet, ni droit à la propriété intelectuelle.

Après avoir tenté un ordre de présentation rigoureux du sujet, j'ai décidé d'arranger ce document dans un ordre plus pédagogique (thématique). Il est à mon avis très difficile de parler d'un si vaste sujet dans un ordre purement mathématique en une seule vie, c'est-à-dire lorsque les notions sont introduites une à une, à partir de celles déjà connues (où chaque théorie, opérateur, outil, etc. n'apparaîtrait pas avant sa définition dans le document). Un tel plan nécessiterait de couper le document, en morceaux qui ne sont plus thématiques. J'ai donc pris la décision de présenter les choses par ordre logique et non par ordre de nécessité.

Les conséquences de ce choix sont les suivantes :

1. Il faudra parfois admettre provisoirement certaines choses, quitte à les comprendre plus tard.

2. Il sera certainement nécessaire pour le lecteur de parcourir au moins deux fois l'ensemble de l'ouvrage. Lors de la première lecture, on appréhende l'essentiel et lors de la deuxième lecture, on comprend les détails (je félicite celui qui comprendrait toutes les subtilités du premier coup).

3. Il faut accepter le fait que certains sujets se répètent et qu'il y ait de nombreuses références croisées ainsi que remarques complémentaires.

Certains savent que pour chaque théorème et modèle mathématique, il existe quasiment toujours plusieurs méthodes de démonstration. J'ai toujours tenté de choisir celle qui me semblait la plus simple (par exemple en relativité il y a la présentation algébrique et matricielle et idem en physique quantique). L'objectif étant d'arriver de toute façon au même résultat.

Ce site étant encore en cours de finalisation, il manque forcément des vérifications de convergences, de continuité et autres... (ce qui fera grimper au plafond les mathématiciens...) ! J'ai cependant évité (ou, dans le cas contraire, je le signale) les approximations habituelles de la physique et l'utilisation de l'analyse dimensionnelle, en y ayant recours le moins possible. J'essaie également d'éviter autant que possible des sujets dont les outils mathématiques n'ont au préalable été présentés et démontrés avec rigueur dans le corps de l'ouvrage.

Enfin, cet exposé, perfectible, n'est pas une référence absolue et contient des erreurs. Toute remarque est donc la bienvenue. Je m'appliquerai, dans la mesure du possible, à corriger les faiblesses signalées et à apporter les modifications nécessaires au plus vite.

En revanche, alors que les mathématiques sont exactes et indiscutables, la physique théorique (ses modèles), reste interprétable dans le vocabulaire commun (mais pas dans le vocabulaire mathématique) et ses conclusions toutes relatives. Je ne peux que conseiller, lorsque vous parcourrez ce site, de lire par vous-même et de ne pas subir d'influences extérieures. Il faut avoir l'esprit très (très) critique, ne rien prendre pour acquis et tout remettre en cause sans hésitation. Par ailleurs, le mot d'ordre du bon scientifique doit être : "Doute, doute, doute..., doute encore, et vérifie toujours.". Nous tenons aussi à rappeler que "rien de ce que l'on peut voir, entendre, sentir, toucher ou goûter, n’est ce qu'il a l’air d’être", ne vous fiez dès lors pas à votre expérience quotidienne pour tirer des conclusions trop hâtives, soyez critique, cartésien, rationnel et rigoureux dans vos développements, raisonnements et conclusions !

Je tiens à préciser à ceux qui tenteraient de trouver par eux-mêmes les résultats de certains développements présents sur ce site, de ne pas s'inquiéter s'ils n'y arrivent pas ou s'ils doutent d'eux à cause du temps passé à la résolution d'une équation ou problème: certaines théories qui nous semblent évidentes ou simples aujourd'hui, ont mis parfois plusieurs semaines, plusieurs mois, voire plusieurs années, pour êtres élaborées par des mathématiciens ou physiciens de renom !

J'ai également tenté de faire en sorte que ce site soit agréable à l'oeil et à parcourir. Les concepteurs web professionnels voudront cependant bien excuser la mauvaise qualité du code HTML / PHP (qu'ils ne verront pas en partie..) / Javascript / CSS et l'abus de l'utilisation du biseautage et estampage de Photoshop ainsi que le choix d'une interface optimisée pour une résolution de 1024 x 768 et supérieure, mais le temps me manque pour épurer le code et réaliser des finitions graphiques correctes (de plus, je privilégie plutôt la qualité du contenu que le contenant).

Enfin, j'ai choisi d'écrire cet exposé à la première personne du pluriel ("nous"). Effectivement, la mathématique-physique n'est pas une science qui s'est faite ou évoluera grâce à un travail individuel mais à l'aide d'une collaboration intensive entre personnes reliées par la même passion et le même désir du Savoir. Ainsi, en faisant usage du "nous", il est rendu hommage aux hommes de science disparus, aux contemporains et aux futurs chercheurs pour le travail qu'ils effectueront dans le but de s'approcher de la vérité et de la sagesse.

MÉTHODES

La science est l'ensemble des efforts systématiques pour acquérir des connaissances sur notre environnement monde, pour les organiser et les synthétiser en lois et théories vérifiables et ayant pour principal objectif d'expliquer le "comment" des choses. Les scientifiques doivent soumettre leurs idées et résultats à la vérification et la reproduction indépendante de leurs pairs. Ils doivent abandonner ou modifier leurs conclusions lorsque confrontées à des évidences plus complètes ou différentes. La crédibilité de la science s'appuie sur ce mécanisme d'autocorrection. L'histoire de la science montre que ce système fonctionne depuis très longtemps et ce même très bien par rapport à tous les autres. Dans chaque domaine, les progrès ont été spectaculaires. Toutefois, le système a parfois des ratés qu'il faut corriger avant que les petites dérives ne s'accumulent.

Le bémol est que les scientifiques sont des hommes. Ils ont les défauts de tous les hommes et, en particulier, la vanité, l'orgueil et la fatuité. De nos jours, il arrive que plusieurs personnes travaillant sur un même sujet depuis un certain temps développent une foi commune et croient qu'ils détiennent la vérité. Le chef de file de cette foi devient le Pape et distille des grands-messes. Le Pape qui se prend au jeu, prend sa mitre et son bâton de pèlerin pour évangéliser ses collègues hérétiques. Jusque-là, cela prête à sourire. Mais, comme dans les vraies religions, ils ont parfois la fâcheuse tendance de vouloir s'étendre au détriment de ceux qui ne croient pas. Certaines de ces "Eglises" n'hésitent pas à se comporter comme l'Inquisition. Ceux qui osent émettre une opinion différente se font incendier à chaque occasion, lors des congrès, voire sur leur lieu de travail. Certains jeunes chercheurs, en mal d'inspiration, préfèrent se convertir à cette religion dominante, pour devenir plus rapidement des dignitaires religieux à peu de frais, plutôt que des chercheurs innovants, voire iconoclastes. Le grand Pape écrit sa Bible pour diffuser sa pensée, l'impose à lire aux étudiants et aux nouveaux venus. Il formate ainsi la pensée des jeunes générations et assure son trône. C'est une attitude moyenâgeuse qui peut bloquer le progrès. Certains Papes vont jusqu'à croire que le fait d'être pris pour le pape dans un domaine leur donne automatiquement le même trône dans tous les autres domaines...

Cet avertissement, et les rappels qui vont suivre, doivent servir le scientifique à se remettre en question en faisant un bon usage de ce que nous pouvons considérer aujourd'hui comme les bonnes méthodes de travail (nous parlerons des principes de la méthode de Descartes plus loin) pour résoudre des problèmes ou développer des modèles théoriques.

Dans ce but, voici un tableau récapitulatif qui propose les différentes étapes que le scientifique devrait suivre lors de ses travaux en mathématique ou physique théorique (pour les définitions, voir juste après) :

Procéder comme dans le tableau ci-dessus est une base de travail possible pour travailler en mathématique et physique. Évidemment, procéder de façon propre et traditionnelle comme ci-dessus prend un petit plus de temps qu'en faisant un peu n'importe quoi, n'importe comment (c'est pour cela que la plupart des professeurs ne suivent pas ces règles, le temps leur manque cruellement pour couvrir tout le programme scolaire).

Remarques:

R1. Attention, il est très facile de faire des nouvelles théories physiques en alignant des mots. Cela s'appelle de la "philosophie" et les grecs ont pensé aux atomes comme cela. Ca peut donc mener à une vraie théorie. Par contre il est bien plus difficile de faire une "théorie prédictive", c'est-à-dire avec des équations qui permettent de prédire le résultat d'une expérience.

R2. Toutefois ce qui sépare la mathématique de la physique est que, en mathématique, l'hypothèse est toujours vraie. Le discours mathématique n'est pas une démonstration d'une vérité extérieure à chercher, mais vise uniquement la cohérence. Ce qui doit être juste est le raisonnement.

MÉTHODE DE DESCARTES

Présentons maintenant les quatre principes de la méthode de Descartes qui, rappelons-le, est considéré comme le premier scientifique de l'histoire de par sa méthode d'analyse :

P1. Ne recevoir jamais aucune chose pour vraie que je ne la connusse évidemment être telle. C'est-à-dire, d'éviter soigneusement la précipitation et la prévention, et de ne comprendre rien de plus en mes jugements que ce qui se présenterait si clairement et si distinctement à mon esprit, que je n'eusse aucune occasion de le mettre en doute.

P2. De diviser chacune des difficultés que j'examinerais, en autant de parcelles qu'il se pourrait, et qu'il serait requis pour les mieux résoudre.

P3. De conduire par ordre mes pensées, en commençant par les objets les plus simples et les plus aisés à connaître, pour monter peu à peu comme par degrés jusques à la connaissance des plus composés, et supposant même de l'ordre entre ceux qui ne se précèdent point naturellement les uns les autres.

P4. Et le dernier, de faire partout des dénombrements si entiers et des revues si générales, que je fusse assuré de ne rien omettre.

VOCABULAIRE

La physique-mathématique, comme tout domaine de spécialisation, a son vocabulaire propre. Afin que le lecteur ne soit pas perdu dans la compréhension de certains textes qu'il pourra lire sur ce site, nous avons choisi d'exposer ici les quelques termes, abréviations et définitions fondamentaux à connaître.

Ainsi, le mathématicien aime bien terminer ses démonstrations (quand il pense qu'elles sont justes) par l'abréviation "C.Q.F.D" qui signifie "Ce Qu'il Fallait Démontrer" ou encore dans les hautes écoles par souci d'esthétisme et de traditions certains professeurs (et mêmes élèves) notent cela en latin "Q.E.D" qui signifie "Quod Erat Demonstrandum" (cela en jette...).

Et lors de définitions (elles sont nombreuses en mathématique et physique...) le scientifique fait souvent usage des terminologies suivantes :

- ... il suffit que ...

- ... si et seulement si ...

- ... nécessaire et suffisant ...

- ... signifie que ...

Les quatre ne sont pas équivalentes (identiques au sens strict). Car "il suffit que" correspond à une condition suffisante, mais pas à une condition nécessaire.

SUR LES SCIENCES

Il est important que nous définissions rigoureusement les différents types de sciences auxquelles l'être humain fait souvent référence. Effectivement, il semble qu'au 21ème siècle un abus de langage malsain s'instaure et qu'il ne devienne plus possible pour la population de distinguer la "qualité intrinsèque" d'une science d'une autre.

  Remarque: Etymologiquement le mot "science" vient du latin "scienta" (connaissance) dont la racine est le verbe "scire" qui veut dire "savoir".

Cet abus de langage vient probablement du fait que les sciences pures et exactes perdent leurs illusions d'universalité et d'objectivité, dans le sens où elles s'auto-corrigent. Ceci ayant pour conséquence que certaines sciences sont reléguées au second plan et tentent d'en emprunter les méthodes, les principes et les origines pour créer une confusion quant à leurs distinctions.

En soi, la science cependant ne produit pas de vérité absolue. Par principe, une théorie scientifique est valable tant qu'elle permet de prédire des résultats mesurables et reproductibles. Mais les problèmes d'interprétation de ces résultats font partie de la philosophie naturelle.

Étant donné la diversité des phénomènes à étudier, au cours des siècles s'est constitué un nombre grandissant de disciplines comme la chimie, la biologie, la thermodynamique, etc. Toutes ces disciplines à priori hétéroclites ont pour socle commun la physique, pour langage les mathématiques et comme principe élémentaire la méthode scientifique.

Ainsi, un petit rafraîchissement semble nécessaire :

Définitions:

D1. Nous définissons par "science pure", tout ensemble de connaissances fondées sur un raisonnement rigoureux valable quel que soit le facteur (arbitraire) élémentaire choisi (nous disons alors "indépendant de la réalité sensible") et restreint au minimum nécessaire. Il n'y a que la mathématique (appelée souvent "reine des sciences") qui peut être classifiée dans cette catégorie.

D2. Nous définissons par "science exacte" ou "science dure", tout ensemble de connaissances fondées sur l'étude d'une observation, observation qui aura été transcrite sous forme symbolique (physique théorique). Principalement, le but des sciences exactes est non d'expliquer le "pourquoi" mais le "comment".

  Remarque: Les deux définitions précédentes sont souvent incluses dans la définition de "sciences déductives" ou encore de "sciences phénoménologiques".

D3. Nous définissons par "science de l'ingénieur", tout ensemble de connaissances théoriques ou pratiques appliquées aux besoins de la société humaine tels que : l'électronique, la chimie, l'informatique, les télécommunications, la robotique, l'aérospatiale, biotechnologies...

D4. Nous définissons par "science" tout ensemble de connaissances fondées sur des études ou observations de faits dont l'interprétation n'a pas encore été retranscrite ni vérifiée avec la rigueur mathématique caractéristique des sciences qui précèdent, mais qui applique des raisonnements comparatifs statistiques. Nous incluons dans cette définition: la médecine (il faut cependant prendre garde au fait que certaines parties de la médecine étudient des phénomènes descriptifs sous forme mathématique tels que les réseaux de neurones ou autres phénomènes associés à des causes physiques connues), la sociologie, la psychologie, l'histoire, la biologie...

Selon le philosophe Karl Popper, une théorie n'est scientifiquement acceptable que si, telle qu'elle est présentée, elle peut être falsifiable, c'est à dire soumise à des tests expérimentaux. La "connaissance scientifique" est ainsi par définition l'ensemble des théories qui ont jusqu'alors résisté à la falsification. La science est donc par nature soumise en permanence à la remise en question.

D5. Nous définissons par "science molle" ou "para-sciences", tout ensemble de connaissances ou de pratiques qui sont actuellement fondées sur des faits invérifiables (non reproductibles scientifiquement) ni par l'expérience, ni par la mathématique. Nous incluons dans cette définition: l'astrologie, la théologie, le paranormal (qui est démolie par la science zététique), la graphologie...

D6. Nous définissons par "sciences phénoménologiques" ou "sciences naturelles", toute science qui n'est pas inclue dans les définitions précédentes (histoire, sociologie, psychologie, zoologie, biologie,...)

D7. Le "scientisme" est la doctrine fondamentale suivant laquelle il n'y a de vérité que dans la science.

Ce qui est intéressant dans cette doctrine, c'est que c'est certainement une des seules qui demande aux gens de devoir réfléchir par eux-mêmes et de comprendre l'environnement qui les entoure en remettant continuellement tout en question et sans ne jamais rien accepter comme acquis (...)

TERMINOLOGIE

Le tableau méthodique que nous avons présrnté plus haut contient des termes qui peuvent peut-être vous sembler inconnus ou barbares. C'est la raison pour laquelle il nous semble fondamental de présenter les définitions de ces derniers, ainsi que de quelques autres tout aussi importants qui peuvent éviter des confusions malheureuses.

Définitions:

D1. Au-delà de son sens négatif, l'idée de "problème" renvoie à la première étape de la démarche scientifique. Formuler un problème est ainsi essentiel à sa résolution et permet de comprendre correctement ce qui fait problème et de voir ce qui doit être résolu.

Le concept de problème est intimement relié au concept "d'hypothèse" dont nous allons voir la définition ci-dessous.

D2. Une "hypothèse" est toujours, dans le cadre d'une théorie déjà constituée ou sous-jacente, une supposition en attente de confirmation ou d'infirmation qui tente d'expliquer un groupe de faits ou de prévoir l'apparition de faits nouveaux.

Ainsi, une hypothèse peut être à l'origine d'un problème théorique qu'il faudra formellement résoudre.

D3. Le "postulat" en physique correspond fréquemment à un principe (voir définition ci-dessous) dont l'admission est nécessaire pour établir une démonstration (nous sous-entendons que cela est une proposition non-démontrable).

L'équivalent mathématique (mais en plus rigoureux) du postulat est "l'axiome" dont nous verrons la définition plus loin.

D4. Un "principe" (parent proche du "postulat") est donc une proposition admise comme base d'un raisonnement ou une règle générale théorique qui guide la conduite des raisonnements qu'il faudra effectuer. En physique, il s'agit également d'une loi générale régissant un ensemble de phénomènes et vérifiée par l'exactitude de ses conséquences.

Remarque: le mot "principe" est utilisé avec abus dans les petites classes ou écoles d'ingénieurs par les professeurs ne sachant (ce qui est très rare), ou ne voulant (plutôt fréquent), ou ne pouvant faute de temps (quasi exclusivement), pas démontrer une relation.

L'équivalent du postulat ou du principe en mathématiques est "l'axiome" que nous définissons ainsi :

D5. Un "axiome" est une vérité ou proposition évidente par elle-même dont l'admission est nécessaire pour établir une démonstration

Remarques:

R1. Nous pourrions dire que c'est quelque chose que nous posons comme une vérité pour le discours que nous nous proposons de tenir, comme une règle du jeu, et qu’elle n’a pas forcément par ailleurs une valeur de vérité universelle dans le monde sensible qui nous entoure)

R2. Les axiomes doivent toujours êtres indépendants entre eux (on ne doit pas pouvoir démontrer l'un à partir de l'autre), non contradictoires (nous disons également parfois qu'ils doivent être "consistants").

D6. Le "corollaire" est un terme malheureusement quasi inexistant en physique (à tort !) et qui est en fait une proposition résultant d'une vérité déjà démontrée. Nous pouvons également dire qu'un corollaire est une conséquence nécessaire et évidente d'un théoroème (ou parfois d'un postulat en ce qui concerne la physique).

D7. Un "lemme" constitue une proposition déduite d'un ou de plusieurs postulats ou axiomes et dont la démonstration prépare celle d'un théorème.

Remarque: Le concept de "lemme" est lui aussi (et c'est malheureux) quasi réservé aux mathématiques.

D8. Une "conjecture" constitue une supposition ou opinion fondée sur la vraisemblance d'un résultat mathématique.

Remarque: Beaucoup de conjectures jouent un rôle un peu comparable à des lemmes, car elles sont des passages obligés pour obtenir d'importants résultats.

D8. Par-delà son sens faible de conjecture, une "théorie" ou "théorème" est un ensemble articulé autour d'une hypothèse et étayé par un ensemble de faits ou développements qui lui confèrent un contenu positif et rendent l'hypothèse bien fondée (ou tout au moins plausible dans le cas de la physique théorique)

D9. Une "singularité" est une indétermination d'un calcul qui intervient par l'apparition d'une division par le nombre zéro. Ce terme est aussi bien utilisé en mathématique qu'en physique.

D10. Une "démonstration" constitue un ensemble de procédures mathématiques à suivre pour démontrer le résultat déjà connu ou non d'un théorème.

D11. Si le mot "paradoxe" signifie étymologiquement : contraire à l'opinion commune, ce n'est cependant pas par pur goût de la provocation, mais bel et bien pour des raisons solides. Le "sophisme" quant à lui, est un énoncé volontairement provocateur, une proposition fausse reposant sur un raisonnement apparemment valide. Ainsi parle-t-on du fameux "paradoxe de Zénon", alors qu'il ne s'agit que d'un sophisme. Le paradoxe ne se réduit pas à de la fausseté, mais implique la coexistence de la vérité et de la fausseté, au point qu'on ne parvient plus à discriminer le vrai et le faux. Le paradoxe apparaît alors problème insoluble ou "aporie".

  Remarque: Ajoutons que les grands paradoxes, par les interrogations qu’ils ont suscitées, ont fait progresser la science et amené des révolutions conceptuelles de grande ampleur, en mathématique comme en physique théorique (les paradoxes sur les ensembles et sur l’infini en mathématique, ceux à la base de la relativité et de la physique quantique).

SCIENCE ET FOI

Nous verrons qu'en science, une théorie est normalement incomplète, car elle ne peut décrire exhaustivement la complexité du monde réel. Il en est ainsi de toutes les théories, comme celle du Big Bang (cf. chapitre d'Astrophysique) ou de l'évolution des espèces (cf. chapitre de Dynamique Des Populations ou de Théorie Des Jeux).

Il convient de distinguer différents courants scientifiques :

- Le "réalisme" est une doctrine selon laquelle les théories physiques ont pour objectif de décrire la réalité telle qu'elle est en soi, dans ses composantes inobservables.

-"L'instrumentalisme" est une doctrine selon les théories sont des outils servant à prédire des observations mais qui ne décrivent pas la réalité en soi.

- Le "fictionnalisme" est le courant selon lequel le contenu référentiel (principes et postulats) des théories est un leurre, utile seulement pour assurer l'articulation linguistique des équations fondamentales.

Même si aujourd'hui les théories scientifiques ont le soutien de beaucoup de spécialistes, les théories alternatives ont des arguments valables et nous ne pouvons totalement les écarter. Pour autant, la création du monde en 7 jours décrite par la Bible ne peut plus être perçue comme un possible, et bien des croyants reconnaissent qu'une lecture littérale est peu compatible avec l'état actuel de nos connaissances et qu'il est plus sage de l'interpréter comme une parabole. Si la science ne fournit jamais de réponse définitive, il n'est plus possible de ne pas en tenir compte.

La foi (qu'elle soit religieuse, superstitieuse, pseudo-scientifique ou autre) a au contraire pour objectif de donner des vérités absolues d'une toute autre nature puisqu'elle relève d'une conviction personnelle invérifiable. En fait, l'une des fonctions des religions est de fournir du sens à des phénomènes qui ne sont pas explicables rationnellement. Les progrès de la connaissance entraînent donc parfois une remise en cause des dogmes religieux par la science.

A contrario, sauf à prétendre imposer sa foi (qui n'est autre qu'une conviction intimement personnelle et subjective) aux autres, il faut se défier de la tentation naturelle de qualifier de fait scientifiquement prouvé les extrapolations des modèles scientifiques au-delà de leur champ d'application.

Le mot "science" est comme nous l'avons déjà mentionné plus haut de plus en plus utilisé pour soutenir qu'il existe des preuves scientifiques là où il n'y a que croyance (certaines pages web de ce genre prolifèrent de plus en plus). Selon ses détracteurs c'est le cas du mouvement de scientologie. Selon ces derniers, nous devrions plutôt parler de "sciences occultes".

Les sciences occultes et sciences traditionnelles existent depuis l'Antiquité, elles consistent en un ensemble de connaissances et de pratiques mystérieuses ayant pour but de pénétrer et dominer les secrets de la nature. Au cours des derniers siècles, elles ont été progressivement exclues du champ de la science. Le philosophe Karl Popper s'est longuement interrogé sur la nature de la démarcation entre science et pseudo-science. Après avoir remarqué qu'il est possible de trouver des observations pour confirmer à peu près n'importe quelle théorie, il propose une méthodologie fondée sur la réfutabilité. Une théorie doit selon lui, pour mériter le qualificatif de "scientifique", doit pouvoir garantir l'impossibilité de certains événements. Elle devient dès lors réfutable, donc (et alors seulement) apte à intégrer la science. Il suffirait en effet d'observer un de ces événements pour invalider la théorie, et orienter par conséquent sur une amélioration de celle-ci.