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DYNAMIQUE DES POPULATIONS | THÉORIE DES JEUX ET DE LA DÉCISION | ÉCONOMIE
TECHNIQUES DE GESTION | MUSIQUE MATHÉMATIQUE

LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

L'économétrie, que nous assimilons sur ce site au domaine englobant la "théorie des biens", la "mathématique financière" et "l'analyse financière", a pour objectif de tenter de régler, de modéliser et de déterminer les origines, la dynamique et les optimums des prix de biens d'échanges ou valeurs "d'agents économiques" (acteurs du marché) en compétition rationnelle selon des modèles théoriques statistiques sur les marchés.

La profession étant majoritairement occupée par des anglo-saxons, nous indiquerons quand cela sera nécessaire les termes anglophones d'usage dans le domaine.

CONCEPTS

Un agent (économique) pour vivre va avoir besoin de deux types de besoins qui peuvent exiger pour leur obtention un ou des échanges :

1. L'ensemble des "besoins primaires" (finis et dénombrables) ou physiologiques

2. L'ensemble des "besoins secondaires" (qui ne sont pas vitaux et non nécessairement finis et dénombrables) et qui sont subjectivement propres à tout individu (et pas que humain non plus!)

Remarque: Les besoins secondaires sont très difficiles à définir et à mesurer mais si nous raisonnons en des termes ensemblistes, nous pouvons simplement dire que est "besoin secondaire" tout ce qui est exclut à l'ensemble des besoins primaires .

Définitions:

D1. Nous disons qu'un besoin est un "besoin économique" quand il concerne un "bien rare" dont l'obtention exige un ou plusieurs échanges. Ils s'opposent aux "biens libres" qui sont des biens disponibles à tous en abondance, aucun travail (typiquement...) n'étant supposé nécessaire pour en bénéficier.

La quantité importante de biens nous oblige à les classifier de la manière suivante :

C1. "Biens matériels" qui ont une réalité physique, palpable et qui peuvent être stockés.

C2. "Biens intermédiaires" ou "services" dont la production et la consommation sont simultanés.

D2. Un "marché" est un système constitué par la rencontre entre une offre et une demande qui porte sur un bien donné.

In extenso nous sommes amenés à énoncer les postulats suivants :

P1. Le marché est assimilé à un système isolé et isotrope

P2. Tout agent actif est en compétition

Définitions:

D1. La "micro-économie" est la branche de l'économie qui analyse le comportement économique au niveau d'entités individuelles telles qu'un consommateur ou une entreprise. Les consommateurs sont considérés comme des offreurs de travail et demandeurs de produits finis. Les firmes sont, quant à elles, des demandeuses de travail et des offreuses de produits.

D2. La "macro-économie" est l'approche théorique qui étudie l'économie à travers les relations existant entre les grands agrégats économiques, le revenu, l'investissement, la consommation, le taux de chômage, l'inflation etc.

MICRO-ÉCONOMIE

Définition: La "valeur d'échange" d'un produit précise pour chaque bien la quantité des autres biens qui lui est équivalent. Usuellement, nous considérons que le "prix" (ou "monnaie") P est la forme monétaire de la valeur d'échange (nous reviendrons sur le concept de la monnaie plus tard).

Remarque : Le "prix" est le paramètre auquel s'intéresse l'économétrie. Tout bien matériel ou ressource humaine ainsi qu'une monnaie donnée a un prix dont il faut déterminer la valeur (relative) soit de manière empirique soit avec des modèles mathématiques statistiques complexes.

Il existe différents types de prix dont voici un échantillon dans l'ordre d'un processus économique classique (les définitions sont propre à ce site!) :

D1. Le "prix de fabrication" est déterminé par les charges directes (mais pas forcément constantes...!) de fabrication (salaires, matières premières, machines, licences, brevets,...) :

  (1)

D2. Le "prix d'usine" est la somme du prix de fabrication augmenté des charges indirectes (taxes, impôts, frais administratifs, frais de stockage, publicitaires, etc.). Afin de pouvoir modéliser un tant soit peu ce prix de manière théorique nous allons devons supposer le marché est à "flux tendu" ou à l'équilibre si vous préférez (nous verrons plus loin qu'il s'agit implicitement de la loi de Say). En d'autres termes, les biens sont fabriqués directement en fonction de la demande et sans stockage et sans intervalle de temps entre la mise sur le marché et la vente (c'est une approximation grossière mais nous y sommes contraints). Dès lors :

  (2)

D3. "Prix de vente net" (ou vue de l'acheteur : le "prix d'achat net" ) qui est le prix d'usine augmenté de la "marge sécuritaire" ou "bénéfice brut" de l'usine tel que :

  (3)

Remarque: Ce bénéfice brut sera investi dans de multiples domaines par le fabricant (recherche et développement, redistribution aux investisseurs, etc.) et le solde doit permettre se protéger contre les différentes fluctuations directes du marché c'est-à-dire : les salaires, les taxes, les prix des matières premières.

Nous pouvons alors envisager deux cas de figures:

1. Le bénéfice brut est plus grand que la somme des charges générales et charges non prévues (il y aura donc un bénéfice net)

2. Le bénéfice brut est plus petit que les charges générales (il y aura donc un déficit ou perte nette)

De ce qui a été défini précédemment il découle trivialement que :

D4. Le "bénéfice net" est donné par la partie de la marge sécuritaire qui était prévue pour une période et qui finalement n'a pas été utilisée par les charges imprévues durant cette période telle que :

  (4)

Remarque: Si les ventes sont supérieures aux prévisions et que des quotes-parts de charges générales et imprévues ont été comptés aux clients, nous parlons alors pour ce supplément imprévu de "boni de suractivité" ce qui augmente bien évidemment le bénéfice net prévu. Dans le cas contraire, nous parlons de "coût d'inactivité partielle" ce qui diminue bien évidemmentle bénéfice net espéré.

D5. "Prix d'appel" qui est le prix d'usine multiplié par un facteur sentimental et artistique (mode, ragots, raisons subjectives), etc. Ce facteur peut être quantifié statistiquement à partir de l'unicité du bien, de la durée d'existence de celui-ci, du nombre d'acheteurs potentiels et ceci tant que personne n'intervient de manière à en modifier l'original après sa fabrication. Nous avons dès lors :

  (5)

D6. "Prix de vente brut" ou vu de l'acheteur le "prix d'achat brut" qui est le prix d'appel augmenté de la marge bénéficiaire du vendeur (intermédiaire entre l'usine et l'acheteur) plus les frais généraux de vente . La marge du vendeur peut-être incluse dans un premier dans les charges directes mais les frais généraux ne sont pas déterministes mis à part dans un marché à flux tendu où il n'y en a pas et comme nous en avons fait l'hypothèse, nous avons :

  (6)

Remarque: Le prix d'achat brut est aussi parfois appelé "prix de catalogue".

D7. "Prix de revient" qui est le prix de vente brut (ou d'achat selon le point de vue) diminué des différents déductions D possibles (étant une valeur négative) faites par le vendeur tel que :

  (7)

Les agents du marché d'échange de biens admettent parfois une réduction du prix de catologue. Les réductions existent que sous deux formes connues:

1. La "remise" qui est une bonification de prix accordée soit à un agent demandeur qui achète par fortes quantités un bien soit à un détaillant auquel est facturé un article de marque au prix de vente imposé par le fabricant (facteur stratégique commercial)

2. "L'escompte" ou "ristourne" qui est une déduction consentie à l'agent demandeur pour paiement au comptant ou pour règlement anticipé ou encore pour paiement à une époque convenue (nous y reviendrons formellement lors de notre étude de l'intérêt simple en calcul actuariel plus loin).

Dans le cas le plus général qui soit nous parlerons à un temps t donné de "prix d'exercice" (ou "prix facturé") auquel le bien peut-être acheté ou vendu tel que :

  (8)

Remarque: L'ensemble des termes de ces expressions prennent généralement leurs valeurs dans ...

Les facteurs à prendre en compte lors de l'élaboration d'une politique de prix sont synthétisés de manière non exhaustive dans le diagramme suivant :

  (9)

D2. La "propension à consommer" est la part du revenu R d'un agent qui est consacré à la consommation C (primaire et secondaire) :

  (10)

D3. La différence entre la dépense de consommation et le revenu est définie comme étant une "épargne" alors que les cotisations et prestations sur les revenus représentent des "transferts sociaux" :

  (11)

D4. "L'élasticité-revenu" est égale au rapport de la variation de la consommation sur la variation du revenu :

  (12)

La notions d'élasticité-revenu permet de classer les biens de la manière suivante :

1. "Biens inférieurs" : qui sont les biens de consommation dont l'élasticité par rapport au revenu est inférieur à 1 et donc dont la consommation diminue avec l'augmentation du revenu tel que (le pain, la farine,...)

2. "Biens supérieurs" : qui sont les biens de consommation de luxe dont l'élasticité par rapport au revenu est supérieur et dont la consommation augmente avec une augmentation du revenu tel que (la santé, loisirs,...)

3. "Biens normaux" : qui sont les biens neutres et dont le coefficient d'élasticité par rapport au revenu est un peu différent de 1 tel que .

D5. "L'élasticité-prix" est égale au rapport de la variation de la quantité de demande d'un bien sur la variation de son prix et est donnée par :

  (13)

Remarque: Une demande est dite "sensible au prix" lorsque le pourcentage de variation de la quantité demandée est supérieure au pourcentage de variation de prix. Dans le cas contraire, nous parlons de demande "rigide au prix".

D6. Un "investissement" I est l'opération réalisée par un agent économique dont l'objectif est d'obtenir des biens de production en échange.

D7. La "transaction" T est l'échange d'une quantité de biens à un prix déterminée entre un "vendeur" et un "acheteur". Elle se conclue sur le marché dont la forme est déterminée par le nombre d'agents qui y interviennent ce qui détermine la "concurrence".

Le tableau présente les différentes formes du marché :

Une autre typologie des marchés peut être effecuté grâce à deux notions : la notion "concurrentielle" et la notion "d'état de la demande" qui se traduit la manière suivante :

La concurrence est qualifiée de "concurrence pure" (CPP : concurrence pure et parfaite) si elle répond aux cinq hypothèses suivantes :

H1. Atomicité : Acheteurs et vendeurs sont nombreux au point que nul ne peut à lui seul influence les prix

H2. Homogénéité (postulat d'homogénéité) : Les produits échangés sont identiques et substituables les uns aux autres. Ils permettent de satisfaires un même besoin.

H3. Libre entrée : Il n'existe aucune entrave à l'entrée et à la sortie de nouveaux agents.

H4. Libre déplacement : Les agents économiqus peuvent se dépalcer librement

H5. Information parfaite : Tout le monde connaît en même temps et gratuitement toutes les quantités offertes et demandées par tous les agents aux prix différents.

D8.  les "soldes intermédiaires de gestion" (S.I.G.) sont des parties du résultat global d'une période d'activité de marché qui sont significatives pour l'analyste financier. Il en existe de multiples dont les défintions découlent d'opérations algébriques élémentaires sur le concepts définis précédemment :

- La "marge commerciale" qui est la différence entre les ventes de marchandises et le coût d'achat des marchandises vendues (la marge commerciale est spécifique aux activité de négoce, c'est-à-dire aux entreprises ayant une activité de distribution).

- La "production de l'exercice" qui est la somme des productions vendues, stockées et immobilisées (la production de l'exercice est spécifique aux activité de production, c'est-à-dire aux entreprises ayant une activité industrielle).

- La "marge brute" qui est la différence entre la production de l'exercice et les achats consommés de matières premières

- Le "chiffre d'affaires" qui est la somme des ventes de marchandises et des ventes de biens et de services.

- La "valeur ajoutée" (V.A.) qui est définie comme la différence entre la production de l'exercice et la consommation intermédiaire par les agents (le gestionnaire la considère comme la richesse crée résultant de l'activité réelle de l'entreprise et la V.A. est comme nous l'avons vu d'importance nationale aussi car elle constitue un agrégat).

- "L'excédent brut d'exploitation", ou E.B.E., est le résultat de l'activité courant de l'entreprise et est défini comme étant :

  (16)

- Le "résultat d'exploitation" (R.E.) est l'enrichissement (ou l'appauvrissement) net généré par l'exploitation. Il prend en compte l'ensemble des produits et charges d'exploitation, notamment des amortissements, provisions, reprises et transferts de charges :

  (17)

COÛT MOYEN ET MARGINAL

Supposons qu'un cuisinier du dimanche (et économiste) invite ses amis à sa table et se propose de leur faire une salade de tomates. Il évalue le travail qu'il aura à faire et il chiffre ce travail en valeur monétaire. Pour le besoin de l'exercice nous considérerons qu'une minute passée correspond à une dépense de 1.-

Donc les données sont:

- Acheter des tomates à 1.- l'unité

- Préparer la salade 15 minutes donc 15.-

Si chacun de ces amis est rassasié avec une seule tomate, préparer son dîner pour 5 amis (lui ne mangeant pas) lui coûtera au total:

5.- + 15.- = 20.-   (18)

Le coût moyen pour chaque invité est de 20.- divisé par 5 soit 4.-. Ce qui correspond à:

  (19)

S'il en invite un sixième, le coût total sera de 21.-. En effet le temps de préparation restera nous supposerons... constant. Dans ce cas, le coût marginal du sixième invité est de:

21-20.-=1.-   (20)

alors que le coût moyen pour l'ensemble des invités est alors de:

21.-/6=3.75.-   (21)

Nous remarquons donc dans cette situation que le coût moyen baisse tant que la variation du coût marginal est inférieure au coût moyen. Soit autrement dit: le coût moyen augmentera dès que le coût marginal sera supérieur au coût moyen initial.

Cet exemple permet d'illustrer les rendements d'échelle et montre que nous avons souvent intérêt à augmenter la production pour réduire le coût moyen de production.

Il ne s'agit cependant pas d'une règle générale! En effet, si le saladier de notre économiste ne peut contenir que 6 tomates, le 7ème invité va l'obliger à préparer un deuxième saladier. Dans ce cas, la variation du marginal sera supérieure à au coût moyen préalable  

Définition: Mathématiquement, le coût marginal est défini par la dérivée du coût total , par rapport à la quantité produite q:

  (22)

ou si la quantité est dérivable:

  (23)

Le coût marginal correspond ainsi au coût de la production d'une unité supplémentaire. En pratique, on s'intéresse plutôt au coût d'une série supplémentaire.

Remarque: Si le coût marginal augmente, on dit que les rendements sont décroissants ; ceux-ci sont croissants si le coût marginal est décroissant. En effet, dans l'industrie notamment, on lance plutôt une série supplémentaire qu'une unité supplémentaire.

Démontrons maintenant que si le coût moyen a un extrémum, le coût marginal lui est égal à ce point. En d'autres termes, le coût marginal augmentera le coût moyen dès qu'il lui sera égal:

Nous savons que si une fonction continue et dérivable f(x) a un minimum (ou un maximum), sa dérivée en ce point s'annule.

Appliquons cela au coût moyen , en gardant à l'esprit que la dérivée que nous avons (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) est du type:

  (24)

Donc il vient:

  (25)

or la fonction au numérateur et dénominateur dépendent de q. Ce qui donne:

  (26)

Ce qui donne:

  (27)

Soit:

  (28)

Ce qui est l'égalité entre coût marginal et coût moyen

MACRO-ÉCONOMIE

Définition: Les "agrégats" sont des grandeurs synthétiques élaborées par les nations pour leur comptabilité nationale et qui mesurent le résultat de l'ensemble de leur économie. Les principaux agrégats sont définis par :

D1. Le "produit intérieur brut" (P.I.B.) qui a pour rôle de mesurer la production nationale (considérée comme isolée), c'est-à-dire de l'ensemble des valeurs des biens et services produits au cours d'une période donnée (le terme "Brut" indique que la valeur du P.I.B n'est pas déduite des différentes taxes existantes sur les productions).

D2. Le "revenu national" (R.N.) qui a pour rôle de mesurer l'ensemble des revenus perçus par les agents économiques

D3. La "consommation" (C) qui a pour rôle de représenter la valeur des biens et services utilisés pour la satisfaction directe des besoins.

D4. La "formation brute de capital fixe" (F.B.C.F.) qui a pour rôle de représenter les investissement

D5. La "valeur ajoutée" (V.A.J.) d'une entreprise qui a pour rôle de représenter la différence entre la valeur des biens et services produits par celle-ci avec la valeur des biens et services utilisées pour produire d'autres bien et services.

D6. Le "produit national brut" (P.N.B.) qui a pour rôle de mesurer la production nationale (comme le P.I.B.) et prendre en compte les revenus du reste du monde. En d'autres termes, le P.N.B est le P.I.B auquel on somme les capitaux en provenance de l'extérieur et auquel on soustrait les capitaux versés vers l'extérieurs.

Remarque: Intutile de parler du concept d'inflation qui ne veut rien dire et dont nous ne retrouvons de définition mathématique rigoureuse nulle part! A ce jour ce terme et le chiffre qui est associé ne veut rien dire.

MODÈLE MONÉTAIRE

C'est le premier des cinq modèles cités plus haut. Il nécessitera nécessairement (et cela est prévu!) une révision mais pour l'instant l'objectif de ce site est de présenter des modèles déjà connus et appliqués.

Pour construire ce modèle nus ferons l'hypothèse que l'utilité monnaie peut-être définieà priori par 3 paramètres: 

1. Unité de compte

2. Moyen de paiement (intermédiaire d'échange)

3. Réserve de valeur

Cette démarche de description est cependant insuffisante pour l'analyse mathématique : il faut un système explicatif complet, car, ici, nous faisons que constater, sans rien de plus. Il faut donc établir le lien entre la monnaie et la théorie de la valeur.

Mise à part la représentation valeur que représente la monnaie, celle-ci dérive son utilité des biens qu'elle permet d'obtenir dans l'échange. C'est ce que nous nommons "l'utilité dérivée".

Notons l'offre de monnaie disponible d'un marché . Elle dépend donc de la quantité totale existante de monnaie  moins les "encaisses" e conservées par les agents économiques (qui ont échangé de la monnaie contre de biens). Nous pouvons alors écrire la relation suivante nommée "offre de monnaie selon Walras" :

  (29)

Cette encaisse est aussi celle des ménages d'une certaine manière et est une demande réelle de biens, qui peut s'exprimer nécessairement sous forme monétaire.

Des agents de vente, à la vente de biens, désirent a fortiori une certaine somme de monnaie encaissée contre la vente de ce bien notée  et appelée "encaisse de monnaie désirée". 

Nous l'exprimons en "numéraire" et pour ce, nous introduisons alors un prix de la monnaie en numéraire. L'encaisse désirée s'écrit alors par rapport à la totalité des encaisses du marché (Le numéraire sert à exprimer les prix relatifs pour l'équilibre général. Il y a une encaisse désirée de la part des agents pour la réalisation de l'équilibre général. C'est en fait des biens réels sous forme monétaire.) :

  (30)

où  est le "prix de la monnaie en numéraire" (facteur variable en cours du temps et qui amène dans un marché qui n'est pas à flux tendu à faire de la spéculation). Dans un marché à flux tendu, sera toujours supposé égal à l'unité. Nous pouvons alors écrire pour différents numéraires :

  (31)

Remarque: Dans un marché isotrope à monnaie unique cette relation n'aurait pas besoin d'être écrite.

L'encaisse désirée peut alors s'exprimer en utilisant la relation:

  (32)

Revenons, à  mais cette fois-ci vu du côté des entreprises. Elles ont besoin de monnaie pour effectuer les paiements et fonctionner (salaires, investissements, etc. ...) et l'encaisse désirée de l'ensembles d'elles est nécessairement dans un cas idéal égale à l'ensemble de la monnaie disponible sur le marché tel que : 

  (33)

puisque les entreprises vendent des biens sur les encaisses des agents (moins les marges) du marché économique.

Hypothèse : La dernière relations suppose que prix de vente des marchandises tend à être égal à leur prix de revient

Remarque: Cette relation signifie aussi que toute l'offre est satisfaite uniquement par la demande des agents et que l'encaisse précédement citée n'est constituée que de biens hors entreprises.

Cela correspond également à une certaine quantité de biens puisqu'il s'agit de proposer des biens pour se procurer de la monnaie (vue des entreprises). Nous pouvons donc écrire:

  (34)

Mais commes les biens du marché (en possesssion des agents économiques) doivent également être renouvelés les entreprises ont finalement comme quantité de monnaie totale potentielle disponible sur le marché :

  (35)

La somme entre crochets correspond donc à l'ensemble de la monnaie disponible sur le marché sous forme de biens des ménages et des encaisses potentielles sous la restriction de biens ayant des prix numéraires globaux identiques. C'est restrictif comme modèle mais suffisant dans le cadre de la détermination du prix d'un type de bien.

Nous notons alors par définition :

  (36)

où :

  (37)

Enfin, nous écrivons :

  (38)

La première relation encadrée exprime la "théorie quantitative de la monnaie selon Walras"..

Passons à l'examen du modèle qui est fondé sur l'association des trois éléments (dont certains ont déjà été énoncés plus haut) suivants :

- La "loi de Say" : Il ne peut y avoir de déséquilibre durable sur les marchés et la loi de l’offre et de la demande réalise une régulation spontanée et automatique de l’activité économique

- La C.P.P : La concurrence est pure et parfaite (voir plus tableau plus haut)

- La "loi de Walras" : La valeur totale des offres étant identique à la valeur totale des demandes, si l'équilibre entre offre et demande est réalisé sur n-1 marché alors il est réalisé sur le n-nième marché.

Ainsi, l'objectif de Walras est de répondre à la question de savoir s'il existe un système de prix qui assure l'équilibre entre l'offre et la demande sur tous les marchés. Cette question est importante car de sa réponse dépend la capacité du marché à assurer l'allocation des ressources de façon efficace.

Le lecteur aura remarqué que dans la lecture de ce qui a précédé, le modèle de Walras considère que la monnaie est neutre en ce sens que la quantité totale de monnaie en circulation n'exerce d'influence ni sur les prix relatifs des produits les uns par rapport aux autres, ni sur le niveau de l'offre et de la demande de produits. La monnaie n'est pas souhaitée pour elle-même...

Remarque: La "parité" est le terme utilisé pour chercher l'équivalence des cours monétaires étrangers de différentes marchées. Cette parité est dépendante (entre autres) du temps et il estimportant de considérer les variations de celles-ci dans le cadre du marché des biens où la monnaie n'est pas unique et le payement non immédiat.

Nous allons maintenant mettre en évidence l'interdépendance des marchés selon Walras :

Nous supposons une économie composée de n marchés où nous avons la demande de biens notée , et l'offre notée  et où nous avons, enfin, les prix (exprimés par rapport à un autre bien). 

Selon la loi de Say, nous avons (équilibre entre l'offre et la demande sur toutes les marchés ) :

  (39)

L'objectif de cette loi est de montrer l'interdépendance des marchés. Pour cela, il faut faire appel à la demande excédentaire notée  (différence entre l'offre et la demande). Nous avons alors (toujours de par la loi de Say):

  (40)

Conclusion: s'il y a un déséquilibre sur un marché, il y a un autre déséquilibre de même ampleur sur tous les autres marchés. C'est une première manière de mettre en évidence l'équilibre des marchés par l'intermédiaire de l'équilibre entre l'offre et la demande (lorsque l'excédent est nul).

Si les agents disposent de dotations (revenus) initiales, alors nous faisons l'hypothèse que tout est déterminé par ces dotations. Nous écrivons alors l'équilance offre-dotations:

  (41)

Nous écrivons alors l'offre excédentaire de la façon suivante:

  (42)

Remarque: Les variations des prix monétaires n'affectent pas l'équilibre réel. Si tous les prix relatifs varient dans la même proportion, l'équilibre n'est pas modifié et les demandes excédentaires ne sont pas affectées.

Rappel : une fonction f est homogène de degré r si en multipliant tous ses termes par un même facteur k, nous obtenons:

  (43)

De cette définition il s'ensuit la propriété remarquable suivante : dans un marché où la demande est proportionnelle au prix, les fonctions de demande sont homogènes de degré 1 telles que:

  (44)

Avec ce que nous avons dit tout à l'heure, nous devrions dès lors avoir une équivalence telle que:

  (45)

Démonstration:

Si tous les prix augmentent de  et qu'il y a un (nous pouvons généraliser à n) nouveau bien sur le marché dont le prix augmente de la même valeur et dont la loi de l'offre et de la demande est également proportionnelle au prix, alors:

  (46)

C.Q.F.D.

L'équilibre n'est donc pas été affecté par la variation des prix monétaires (vous comprenez maintenant que les salaires sont un prix monétaire du travail qui augmente(rait) lui aussi proportionnellement aux prix des biens du marché).

Nous pouvons aussi écrire de par la loi de Say :

  (47)

Rappelons de plus que (égalité entre les dispositions monétaires pour la demande est les valeurs des biens disponibles) :

  (48)

Si un nouveau produit arrive sur le marché (parce que demande il y a selon la loi de Say!) alors sera exprimé par :

  (49)

mais nous avons toujours sur l'ensemble du marché des agents (le produit n'ayant pas encore été acquis par un des agents) :

  (50)

Ce qui nous amène à écrire :

  (51)

dès lors faisons le choix :

  (52)

Nous pouvons alors écrire :

  (53)

Sur n marchés nous avions donc :

  (54)

et comme démontré précédemment, sur marchés :

  (55)

Cela démontre implicitement que le marché est totalement déterminé par les n autres (idem en raisonnant sur les biens eux mêmes plutôt que sur des marchés).

Ici, les relations sont fondées sur des équations. Walras distingue cependant deux procédures pour assurer l'équilibre entre offre et demande :

1. Une méthode algébrique théorique. Mais.... nous ne pouvons pas déterminer les besoins des individus à l'avance afin de savoir quand il y aura demande et se préparer à construire l'offre. Ce système ne fonctionne que si et seulement si les agents économiques sont raisonnables et s'accordent pour attendre

2. Une méthode empirique qui recherche la solution par des opérations d'essais/erreurs : il y a la présence d'une sorte de secrétaire de marché, le "commissaire-priseur". Ce dernier annonce des prix pour chaque type de bien qui pourrait exister : les agents économiques réagissent à ce prix, ils offrent et ils demandent en fonction du prix. Pour le bien i, il y a , nous avons alors . Nous comparons l'offre et la demande. En cas d'égalité, le prix est un prix d'équilibre. En cas de différence, le commissaire-priseur recommence la procédure et ainsi de suite jusqu'à ce qu'il y ait équilibre. C'est en gros cette procédure qui utilisée dans les marchés boursier !!!

Cependant, les équations nous montrent que nous avons besoin du prix de la monnaie en numéraire pour mesurer l'offre et la demande et il convient de se rappeler nous avons considéré la monnaie comme un marchandise en quantité donnée fixe car le système est à l'équilibre entre offre et demande. Mais justement, les agents ne peuvent pas indéfiniment se répartir la quantité totale de monnaie si leur nombre augmente. Dès lors, pour que la demande soit possible,, si elle a lieu, il faut être prêt à en injecter (ou à en disposer) sur le marché (sinon celui-ci devient immobile ce qui n'est peut-être pas favorable à long terme...). Il faut bien sûr aussi être prêt à en retirer et c'est là aussi qu'intervient une instance tel que l'état en intervenant dans l'économie pour réguler cette quantité de toutes les manières possibles (par l'intermédiaires des impôts par exemple) puisqu'elle agit directement sur les biens disponibles et déjà immobiles (achetés).

Ainsi, selon le modèle de Walras, la quantité de monnaie disponible sur le marché est donc seulement fonction du nombre d'agents économiques. Mais dès lors faut-il mettre en place un nouveau modèle pour un cadre plus général de demande de monnaie ?

Au fait, cela n'est pas nécessaire. Nous savons que s'il y a équilibre général pour n biens, il y a équilibre général pour n + 1 biens (et par récurrence pour n-1 aussi) ; le dernier marché n'étant autre que celui de la monnaie. Le modèle de Walras explique dès lors pourquoi à un certain niveau de quantité de monnaie correspond un certain niveau des valeurs numéraires des biens et ce même de la monnaie.

THÉORIE DE L'OFFRE ET DE LA DEMANDE

C'est le deuxième des cinq modèles cités plus haut. Il nécessitera nécessairement (et cela est prévu!) une révision car fortement incomplet. Les idées présentées ci-dessous sont à ce jour à prender avec des pincettes.

Dans notre société humaine où il existe une monnaie d'échange (de référence) et des biens persiste un problème qui consiste en la détermination de la valeur monétaire d'un bien. Pour déterminer celle-ci il faut pouvoir connaître l'évolution de l'offre et de la demande. C'est ce dont à quoi nous allons nous attarder ici en commencant par des modèles simplistes et en complexifiant ceux-ci de manière croissante :

THÉORIE DE LA PRÉFÉRENCE

Avant de se lancer dans un modèle élaboré de l'offre et de la demande, il est nécessaire de cerner ce qui motive les agents économiques dans leurs choix de consommation et de modéliser leur comportement sous le principe fondamental de rationalité.

L'agent économique sera perçu comme un individu unique disposant d'un dont il cherche à tirer le maximum de satisfaction. Ses goûts sont subjectifs même s'ils dépendent de certaines caractéristiques objectives telles que l'âge ou le niveau de culture. Le niveau de satisfaction sera défini à partir d'une fonction d'utilité dont nous verrons les principes de base et la maximisation sous contrainte.

Plusieurs principes fondent l'utilité des biens et conduisent à la notion "d'utilité marginale, concept central dans la théorie de la préférence de l'agent économique. D'après Aristote, à l'origine du concept de valeur-utilité, l'utilité des biens dérive de la satisfaction des besoins. Condillac énonce que : "la valeur des choses est fondée sur l'usge que nous pouvons en faire". Cette idée d'une valeur fondée sur l'utilité, fondamentale chez les économistes marginalistes, s'oppose au courant théorique de la valeur-travail fondée sur la quantité de travail, directe et indirecte, incorporée dans la fabrication du bien (Adam Smith, Karl Marx).

Il faut cependant considérer un hypothèse important dans ce modèle de préférence :

Hypothèse : Il existe une certaine satiété des besoins, mais elle n'est jamais totale.

Ainsi, pour un bien donné l'utilité marginale de la dernière unité consommé est donc plus faible que celle des unités précédentes mais non nulle et toujours positive c'est le "principe de l'utilité marginale décroissante". relative à l'unité supplémentaire consommée.

Ainsi, dans le cadre de la consommation multiple d'un bien unique d'utilité nominale donnée, l'utilité totale (somme des utilités marginales ) serait une courbe du type :

  (56)

et donc l'utilité marginale est du type :

  (57)

Ainsi, confronté à un prix donné pour chaque bien, l'agent économique compare ce prix avec les utilités marginales qu'il retire successivement de leur consommation. Il en achète tant que leur utilité dépasse le prix (surplus lié à cet achat) et cesse d'en acheter dès que l'utilité marginale tombe en dessous du prix du bien. Son intérêt est alors d'acheter d'autres produits pour lesquels il existe un surplus positif (utilité marginale de ces produits supérieure à leur prix).

Cet exemple, relatif à un bien, doit être élargi maintenant à un panier de biens pour déterminer l'utilité globale de ce panier.

Considérons pour cela un agent i dans une économie disposant de biens. Il peut donc en acheter au maximum I. Un panier de consommation possible correspond donc au vecteur de biens : , où les représentent les quantités éventuellement nulles achetées par le consommateur. L'utilité de ce panier s'écrit et sera supposée additive selon :

  (58)

c'est-à-dire la somme des utilités totales relatives aux quantités consommées de chaque bien.

Considérons maintenant un panier à deux biens, nous pouvons sans trop d'erreur émettre l'hypothèse que ces biens peuvent êtres divisés en fractions aussi petites que nous voulons d'autres biens/composants. Ainsi, grossièrement, nous ne travaillons plus dans mais dans .

Ainsi, soit un panier de d'un agent économique, nous supposerons que celui-ci est tel que sa différentielle totale exacte est nulle tel que :

  (59)

Le rapport :

  (60)

et défini comme le "taux marginal de substitution" (T.M.S.) entre les deux biens élémentaires i, j : quantité supplémentaire du bien i qu'il faut fournir à l'agent économique pour compenser exactement une diminution d'une unité du bien j.

Le comportement attribué à l'agent économique est de pouvoir classer tous ces paniers de biens de biens possibles (vecteurs) selon une échelle de préférence, sans que celle-ci corresponde à une nécessairement à une évaluation chiffrée. Cette capacité de classement correspond au concept "d'utilité ordinale" (pouvant être ordonnée donc) et à l'utilisation d'une relation de préférence, notée (préféré ou indifférent à) qui vérifie les propriétés suivantes :

- transitivité : et (cohérence des classements successifs)

- réflexivité :

Cette relation, "préordre" au sens mathématique, est utilisée dans la plupart des présentations actuelles de la théorie de la préférence. Ce préordre est complet s'il permet toujours de comparer deux paniers de biens dans l'ensemble des I biens.

Un tel préordre complet permet de définir une relation d'équivalence sur l'ensemble des biens et un ordre strict, ainsi que de représenter les préférences à partir de fonctions d'utilité :

  (61)

où nous avons dans l'ordre : (1) préféré ou indifféranciable à (2) est strictement préféré à (3) est indifférent à .

Si la fonction U est bien définie par un nombre, elle ne reflète plus une évaluation de l'utilité, mais dès lors seulement la possibilité de comparer l'ordre des utilités, relatives à des paniers de biens quelconques.

La possibilité de hiérarchiser différents paniers de bien de permet de définir des surfaces de niveau dont l'utilité est constante, appelées "courbes d'indifférence" ou encore "courbes d'iso-utilité". Les graphiques suivants donnent bien une représentation de ces courbes dans (panier de deux biens) et leurs principales propriétés :

Ainsi, deux paniers tel que dans se traduisent graphiquement par un réseau de courbes, dont chacun est constamment décroissante :

  (62)

Pourquoi n'avons-nous pas des droites ou autres choses ? La raison est simple et le graphique suivant l'explique trivialement. Soit l'iso-utilité :

  (63)

Ci-dessus, domine . En effet le panier de bien possède plus de bien que le panier . Ces deux points ne peuvent donc être sur la même courbe d'indifférence et imposent qu'une courbe d'indifférence doit être décroissante et que c'est la seule condition (donc ce n'est pas nécessairement une droite).

Remarque: Si nous supposons que la satisfaction de l'agent économique augmente avec la taille de son panier de biens, plus une d'iso-utilité est éloignée de l'origine plus elle correspond à une utilité élevée.

Les courbes d'iso-utilité ne peuvent se couper. Effectivement, soit la figure ci-dessous :

  (64)

Considérons que ont des utilités respectives Il n'est pas possible dès lors que deux le panier qui domine l'utilité de tel que soient tel qu'au point nous ayons et car cela impliquerait ce qui est contradictoire.

Nous sommes donc conscients qu'il existe des relations particulières entre les biens qui vont modifier nos attitudes de consommation. C'est le cas notamment des biens complémentaires et des biens de substitutions :

Définitions:

D1. Deux biens sont dits "biens complémentaires" si la possession de l'un et de l'autre procure une satisfaction supérieure à la somme des satisfactions des deux biens s'ils étaient pris isolément (super-additivité). Ainsi, il y a complémentarité entre des skis et un forfait sur des remontées mécaniques, entre une voiture et de l'essence. Cela peut être interprété par la courbe d'indifférence suivante :

  (65)

Effectivement, le couple (voiture, essence) ont respectivement un minima sous lequel nous ne pouvons pas descendre afin que le coupe ait son intérêt de consommation (il ne vaut pas la pein d'acheter une voiture si l'essence tend vers zéro).

D2. Deux biens sont substituables si nous pouvons remplacer facilement l'un par l'autre, par exemple en cas de pénurie ou de hausses de prix. Le thé et le café sont substituts car, à défaut de l'un, nous nous reportons souvent sur l'autre. Cela est encore plus vrai pour deux marques d'une même boisson (Pepsi et Coca). La crise de la vache folle est également un bon révélateur de la substituabilité des produits carnés, avec un report de consommation sur les volailles et l'agneau. Cela peut être interprété par la courbe d'indifférence suivante :

  (66)

Effectivement, l'intersection avec les axes respectifs indique (exprime). justement la substitution totale possible d'un bien par l'autre dans le panier

Voyons maintenant un exemple d'application :

Soit à calculer le T.M.S. le long de la courbe d'indifférence (il s'agit donc d'une fonction hyperbolique). Nous avons montré que que le T.M.S était donné par :

  (67)

Ainsi, pour les trois points A, B, C de coordonnées respectives:

  (68)

nous trouvons les valeurs T.M.S. respectives :

  (69)

Ces valeurs expriment des équivalences entre les biens 2 et 1 pour des variations marginales des quantités de ces biens. Ainsi au point A, pour conserver le niveau d'utilité de 100, le consommateur est prêt à abandonner du bien 2 pour augmenter sa consommation de bien 1 dans un rapport de 4 à 1. Au point B l'équivalence entre les deux biens est dans un rapport de 1 à1,etc.

Remarque: Le concept de courbes d'indifférences a été développé par Vilfredo Pareto et d'autres dans la première partie du 20ème siècle. Le recourt à ce concept à permit à l'analyse économique d'utiliser le concept de préférences dans la détermination des choix plutôt que le concept d'utilité qui a le problème de ne pas pouvoir être mesuré de façon objective.

Pour résumer :

Les courbes d'indifférences (iso-utilité) ont donc traditionnellement les propriétés suivantes:

P1. les courbes d'indifférences ne se croisent pas. C'est la conséquence de l'hypothèse que les consommateurs préfèrent toujours avoir plus d'un bien que moins.

P2. Les courbes sont décroissantes. Cela découle de la l'hypothèse que plus les individus consomment de moins en moins d'un produit, plus ils en demanderont un autre.

Finalement les hypothèses sont (les trois premières hypothèses sont obligatoires, les autres sont facultatives puisque découlant des deux propriétés précédentes) :

H1. Complétude : les consommateurs connaissent leurs préférences individuelles. En d'autres termes, ils peuvent choisir entre consommer le couple X ou le couple Y. Ils savent si X est préféré à Y, Y est préféré à X, ou s'ils sont indifférents entre consommer X ou Y.

H2 . Transitivité : si un consommateur préfère le couple X au couple Y, et préfère le couple Y au couple Z, alors il préfèrera le couple X au couple Z.

H3. Continuité : cela signifie que nous pouvons choisir de consommer n'importe quelle quantité d'un bien.

H4. Non satiété : c'est l'idée que plus d'un bien est toujours préféré à moins.

H5. Convexité : la valeur marginale qu'un individu retire de chaque bien tombe . Dans un monde à deux biens, si un consommateur a relativement plus d'un bien il sera plus heureux avec un peu moins de ce bien et avec un peu plus de l'autre bien.

MODÈLE CONTRARIÉ A PERTE NETTE

Considérons maintenant, et ce indépendamment de la théorie de la préférence, un modèle à monopole contrarié et à information parfaite pour un besoin primaire. Notons D(t) la demande sur le marché et O(t) l'offre. Nous avons alors un demande exponentielle (en absence d'offre) :

  (70)

et en l'absence de demande :

  (71)

Les offreurs et les demandeurs sont en interaction. Pour quantifier la contribution entre groupes, nous considérons l'offre en assumant que sa valeur ou intensité est fonction de probabilité de rencontre entre le demandeur et le produit et quelle sera proportionnelle au produit du pourcentage de l'offre de la demande.

Les effets de la découvert du produit n'ont pas les mêmes effets sur les deux groupes offreurs/demandeurs. Premièrement, bien sûr, chaque offre acquise par un demandeur est un gain net pour le premier et sera supposé comme un perte d'épargne nette pour le premier. Ainsi, si l'effet des interactions est accepté, comme étant proportionnel à les signes d'influence d'interaction différeront selon :

  (72)

Avant d'aller plus loin, cherchons les valeurs pour lesquelles les dérivées s'annulent (ce qui nous donnera au fait le point d'équilibre entre l'offre et la demande) :

  (73)

d'où :

  (74)

Une solution triviale est la solution "d'inexistence" donné par . Sinon, nous avons :

  (75)

Maintenant, normalisons les équations en écrivant (ainsi elles sont sans dimension) :

  (76)

avec cette normalisation, le modèle s'écrit :

  (77)

En réarrangent les coefficients, le système s'écrit :

  (78)

pour lequel les dérivées s'annulent aux points , qui sera à nouveau l'équilibre de Say.

Le tracé discret de ce système d'équations (dans lequel nous reconnaissons un terme logistique), donne avec et le conditions initiales :

  (79)

Nous retrouvons comme le marché semble nous le montrer, des cycle d'offre/demande (certains produits démodés reviennent à la mode) dont il faut déterminer par des statistiques, les conditions initiales afin d'en connaître la possible période. Nous remarquons que l'offre a toujours un peu de retard sur la demande dans ce modèle.

Si nous représentons l'offre et la demande non pas respectivement en fonction du temps mais en fonction de l'un et de l'autre nous obtenons :

  (80)

Nous voyons ainsi (dans cette représentation de l'espace des physique) que pour des conditions initiales fixes, le système est périodique et a un point d'équilibre en

Ce qui correspond aux points où :

  (81)

Finalement, nous avons deux couples de points d'équilibre (c'est trivial en regardant le système d'équation) :

et   (82)

La question qui se poser est le sens de rotation (représentation) du plan des phases. Ainsi, en représentant les directions à l'aide d'un champ de vecteurs, nous obtenons la représentation :

  (83)

Pour savoir dans quelle direction nous nous dirigeons dans l'espace des phases à un moment donné, il suffit donc de connaître la dérivée dy/dx (ou réciproquement dx/dy). Ainsi nous avons :

  (84)

Ceci dit, nous voyons bien sur le diagramme des phases dans sa forme de champ de vecteurs qu'il arrive un moment dans le cycle de ce modèle que l'offre soit très élevée pour une faible demande. Donc le modèle mathématique (théorique) explique bien ce qui peut être à priori contre intuitif pour l'être humain.

Cependant, nous pouvons (devons) nous poser la question de ce qu'il se passe après un petite perturbation autour des points d'équilibres (ce qui est de la plus haute importance en économie).

Nous avons donc le système :

  (85)

En y mettant une perturbation infiniment petite, celui-ci s'écrit :

  (86)

En négligeant les termes quadratiques nous obtenons :

  (87)

Dès lors, proche du point d'extinction , ce système s'écrit :

  (88)

Ce qui nous montre que proche du point d'éqilibre, l'offre diminue exponentiellement alors que la demande augmente elle exponentiellement. Ceci à un sens écnomique : quand il y a peu d'offre (respectivement de demande), la demande croît alors qu'au fur et à mesure que la demande augmente, l'offre croît et se concentre de plus en plus sur leurs la demande (ahhh la nature...).

Proche du point d'équilibre (1,1), nous aurons :

  (89)

Ce cas n'est plus très trivial car nous avons alors des équations différentielles couplées. Pour résoudre ce système, différentions l'équation :

  (90)

et en y injectant dy/dt :

  (91)

Nous obtenons donc une petit équation différentielle du deuxième ordre (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral). Dons la solution type est :

  (92)

En injectant cette solution dans l'équation différentielle, nous obtenons après simplification des exponentielles une simple équation du deuxième degré (cf. chapitre de Calcul Algébrique) :

  (93)

Dont la solution est triviale :

  (94)

Ainsi, la solution générale de l'équation différentielle est la combinaisons linéaire des deux solutions tel que :

  (95)

Mais nous avons donc :

  (96)

Dès lors, connaissant x(t) nous obtenons facilement :

  (97)

Utilisons maintenant la relation d'Euler (cf. chapitre sur les Nombres) :

  (98)

Ainsi, nous avons :

  (99)

et comme (cf. chapitre de Trigonométrie) , nous avons alors :

  (100)

et de manière similaires, nous obtenons pour les prédateurs :

  (101)

Ainsi, autour du point d'équilibre (1,1), les perturbations suffisamment petites pour valider la linéarisation (annulation des termes quadratiques) oscilles comme des ellipses (ou cercles) dont les axes sont définis par les deux équations précédentes.

Ce modèle est cependant imparfait car il prend en compte seulement un monopole contrarié à perte nette et à information parfaite. Le fait de considérer la population constante n'est pas trop génante mais en toute rigueur nous devrions rajouter un terme logistique dans les équations initiales. Il y a encore du travail donc...

Capitalisation et actuariat

Définition: La "capitalisation" est le domaines de la mathématique financière qui permet de calculer des valeurs futures à partir de valeurs présentes, alors que le "calcul actuariel" permet de déterminer quelle somme doit être prêtée pour obtenir un montant fixé à l'avance.

Dans un dynamique de marché, des acteurs peuvent prêter ou emprunter un capital en contrepartie de quoi ils percoivent ou respectivement versent un intérêt périodique. Cet intérêt se justifie par la prise de risque que prend le créditeur (celui qui prête le capital) relativement au non-remboursement de la totalité ou d'une part du capital intial que doit rembourser le débiteur (celui qui doit rembourser le capital emprunter). D'une autre manière, vue au niveau du marché économique, les emprunts permettent à certains agents économiques de mettre en place des biens en pariant sur le fait que soit ceux-ci créeront l'offre soit que l'offre viendra d'elle-même mais en souhaitant devancer la concurrence.

Lorsque un capital est prêté (ou emprunté, c'est selon le point de vue...) dans le but d'accroître une dynamique de marché (la quantité de circulation de biens sur une durée donnée) nous parlons alors "d'actif financier", ceci pour faire comprendre que le capital participe à l'activitié de l'économie.

Définition: Nous appelons "rendement d'un actif financier" prêté le rapport de progression:

  (102)

Remarque: Nous disons d'un actif qu'il a un "rendement sans risques" si la valeur future de celui-ci est parfaitement connue.

Soit un actif  qui peut valoir le rendement (optimiste) futur  avec une probabilité et la valeur (pessimiste) avec une probabilité  ou d'autres valeurs  avec la probabilité  alors l'espérance mathématique du rendement est donnée par:

  (103)

Que la somme monétaire soit du type actif où non, les types de rendements applicables sont identiques et variés. Il en existe cependant de grands classique qui ne sont pas stochastiques et connus. Pour leur étude, définissons certaines variables :

- représente le capital initial ou plus techniquement la "valeur actuelle" (V.A.) ou "present value" (P.V.) en anglais

- représente le capital final ou "valeur capitalisée" (V.C.) ou "futur value" (F.V.) en anglais après n périodes temporelles.

- représente le taux appelé plus techniquement "taux effectif"

- représente "l'intérêt" produit au bout n de périodes (horizon) sur la valeur actuelle

Rajoutons encore comme complément la relation :

  (104)

appelée "facteur de capitalisation".

Définition: Nous définissons "l'intérêt" comme la rémunération d'un capital (somme d'argent) prêté ou investi pendant un certain temps. L'intérêt peut être payé en une fois ou périodiquement si la durée du prêt ou de l'investissement dure longtemps. L'intérêt peut être payable d'avance (praenumerando) ou à la fin de la période (postnumérando). L'intérêt est fonction de la durée du prêt (ou investissement), du capital emprunté (ou prêté) ainsi que du "taux" d'intérêt pratiqué. La période sur laquelle l'intérêt porte est en général l'année, mais elle peut être plus courte : semestre, trimestre mois ou jour.

Remarque: Dans un texte, l'intérêt est exprimé normalement en % mais dans les calculs financiers, il d'usage de calculer sous forme décimale.

INTERVALLe DE DATES

Pour déterminer le montant d'un intérêt sur un prêt (ou investissement...), il est d'abord indispensable de connaître la durée de ce dernier ou les dates définissant les périodes de paiement d'une obligation (échéancier).

Le calcul de dates et de durées et donc la première étape en mathématiques actuarielles. Si certains logiciels utilisent dans le calcul de la durée l'année civile (365 jours selon calendrier Grégorien), d'autres se basent sur l'année commerciale (360 jours), ce qui était le cas de la plupart des établissements bancaires (c'est tout à leur avantage financièrement parlant de faire le choix de ce dernier...) avant l'arrivée du calendrier target pour la zone Euro.

Remarques:

R1. Sur les marchés financiers, il existe une seule convention d'intervalle de date pour calculer une durée : le premier jour (date de départ) est inclus dans la période. Le dernier jour (date de fin ou date d'échéance) est exclus de la période. Ainsi une période allant du 15 au 25 juin comporte 10 jours.

R2. Dans le cadre de ce site, qui se veut avoir une approche la plus rigoureuse possible de sujets traités, nous ne nous attarderons pas sur les aberrantes méthodes 30/360 allemande, européenne ou encore américaine (autant faire chaque pays de la planète alors... et se reporter à MS Excel...) pour nous concentrer sur la méthode des 365 jours qui est, et reste, le système le plus naturel de comptage à utiliser puisqu'il tient compte des mois à 28, 29, 30 ou 31 jours.

R3. Signalons qu'en ce qui concerne les carnets d'épargne, les banques se basent sur un système de "quinzaines" (moitié d'un mois), et estiment qu'il y a donc 24 quinzaines par année.

Il nous faut dès lors dans le système de la base exacte connaître comment calculer le nombre de jours entre deux dates donné par le calcul à partir la forme normalisée j.m.a (jour.mois.année).

Définitions:

D1. Le calendrier Grégorien a été défini tel qu'il ait 12 mois.

D2. Les mois de :

  (105)

sont des mois à 31 jours et les mois de :

  (106)

à 30 jours.

D3. Le mois de février est un cas particulier permettant de corriger le fait que l'année civile de 365 jours, ne corresponde pas tout à fait à la période orbitale de la Terre autour du Soleil qui est d'environ 365.25... jours. Ainsi, toutes les années qui sont multiples de 4 ou de 400 sont des années bissextiles (le mois de février à 29 jours au lieu de 28) mais les années qui sont divisibles par 100 ne sont pas bissextiles.

Exemples:

E1. 1992,1996,2004,2008 sont bissextiles.

E2. Les années 1900,2100,2200,2300 ne sont par contre pas bissextiles (car divisibles par 100)

E3. Les années 1600, 2000, 2400,2800 sont bissextiles car bien que divisibles par 100, elles sont multiples de 400.

Ces définitions et exemples étant donnés, soit une date sous la forme normalisée donnée précédemment. Le nombre de jours depuis l'an 0 est :

  (107)

où E[x] est la partie entière de x. Cette relation se déduit logiquement de la manière suivante pour les dates où :

1. Nous avons 365(a-1) car soit a donné, le nombre de jours civils depuis l'an 1 est soustrait d'une unité puisque l'année en cours n'est pas terminée.

2. Même remarque pour les mois avec 31(m-1)

3. Logiquement, nous ajoutons j (qui contient toute l'information quant à savoir si l'année a) est bissextile ou non) à la somme des deux termes précédents

4. Les termes donnent quant à eux le nombre de 29 février entre l'année 1 et a en prenant en compote les années bissextiles qui ont lieu tous les multiple de 4 et 400 ans exceptés les années qui sont multiples de 100.

Si , nous devons utiliser la relation suivante :

  (108)

Cette relation se déduit toujours de la même manière que la précédent à la différence que certains termes au nominateur ne sont pas soustrait d'une unité car ayant m>2, il faut prendre en compte l'année en cours dans le calcul.

Le dernier terme E(0.42M+2) est ici pour corriger le fait que tous les mois n'ont pas 31 jours. Pour l'obtenir, nous construisons le tableau suivant (la troisième colonne donne le décalage en jours par rapport au cas où les mois auraient tous 31 jours) :

Une régression linéaire simple donne :

  (110)

En prenant la valeur entière et en vérifiant bien que la fonction choisie est correcte nous obtenons finalement (en prenant un précision de deux décimales) bien :

E(0.42M+2)

ÉQUIVALENCES DE TAUX

Intéressons nous maintenant brièvement au calcul des taux avant de s'attaquer directement aux calculs des différentes et nombreux types d'intérêts.

Définition: Le"taux proportionnel" fait apporter à un même capital, durant la même période, le même "intérêt simple" (voir la définition de l'intérêt simple plus bas) et est donc donné par la relation :

  (112)

Exemple:

Taux mensuel  proportionnel à un taux annuel t% de 12%:

  (113)

Définition: Le "taux équivalent" fait apporter à un même capital, durant la même période, le même "intérêt composé" (voir la définition de l'intérêt simple plus bas) et est donc donné par la relation :

  (114)

et inversement:

  (115)

Exemple:

Taux t% mensuel équivalent à un taux  annuel de 12% :

  (116)

la procédure inverse consisterait donc à calculer le taux annualisé et nous voyons alors qu'un taux mensuel de 1% annualisé vaudrait plus que 12%.

INTÉRÊT SIMPLE

Définition: "L'intérêt simple" est défini par la relation (voir plus haut pour la définition des notations) :

  (117)

qui implique une capitalisation (valeur finale) :

  (118)

Il s'agit simplement de l'intérêt qui est calculé à chaque période seulement sur la base du capital prêté ou emprunté à l'origine.

Remarques:

R1. Il est très facile à partir la connaissance de trois des quatre paramètres de la relation précédente de retrouver la quatrième. S'agissant d'un simple équation du premier degré, nous ne nous attarderons pas sur ce genre d'exercice de style d'agèbre élémentaire.

R2. Une particularité de l'intérêt simple est d'être proportionnel à la durée du placement. Si l'intérêt par exemple sur une année est de 12%, le "taux équivalent" à un placement identique pendant 12 mois sera de 1% par mois. Cette propriété n'est pas vraie pour l'intérêt composé que nous verrons de suite après.

Par ailleurs, si plusieurs placements à intérêt simple sont effectués simultanément pour des durées et à des taux différents, nous pouvons être amenés à calculer le taux moyen T de l'ensemble de ces placements.

Si nous notons le placement numéro t, le taux d'intérêt du placement numéro t, la durée du placement numéro t et k le nombre de placement, nous avons la moyenne arithmétique pondérée (cf. chapitre de Statistiques) :

  (119)

ESCOMPTE

Toujours relativement à l'intérêt simple, nous pouvons revenir sur une notion dont nous avions parlé au début de ce chapitre qu'est l'escompte.

Rappelons que l'escompte est une déduction accordée à un acheteur par un vendeur dans le but de l'inciter à payer rapidement avant n unités (périodes) de temps (c'est donc l'intervalle qui importe!). Un acheteur devrait en principe profiter de cet escompte. Dans le cas contraire, c'est comme s'il empruntait implicitement pendant une durée donnée à un intérêt bien plus élevé.

Voyons cela :

Notons la valeur actuelle escompte compris, le montant sans escompte appelé "valeur nominale", n la durée rapportée à l'échelle de temps du taux d'escompte, t% le taux d'escompte et i l'intérêt implicite en cas de renonciation à l'escompte.

Nous avons maintenant les relations suivantes triviales :

  (120)

avec :

  (121)

étant l'intérêt simple sur la valeur actuelle, nous avons alors trivialement :

  (122)

Dès lors, il vient par substitution :

  (123)

Nous remarquons alors qu'il suffit de connaître seulement le taux d'escompte accordé t% (souvent donné en annuel...) ainsi que la durée de renonciation n pour déterminer le taux équivalent du crédit accordé.

Exemple:

Calculons le taux implicite i relatif à un escompte de 1% à 10 jours ou net à 30 jours :

  (124)

Ainsi, cette escompte si elle n'est pas prise en considération, peut-être vue comme un crédit à 18% par jour pendant 20 jours sur la somme avec escompte !

Cette métode de calcul est appelée "escompte commerciale" car elle les calculs se font sur la base de la valeur nominale et non de la valeur actuelle.

INTÉRÊT composÉ

Définition: "L'intérêt composé" est donnée par la relation:  

  (125)

et implique:

  (126)

Nous disons doncque le taux d'intérêt est "composé" lorsqu'à la fin de chaque période l'intérêt est ajouté au capital pour le calcul de la prochaine période.

Nous avons par ailleurs les relations triviales (cf. section d'Algèbre):

  (127)

Remarque: Les relations équivalentes dans MS Excel pour trouver sont respectivement (fonctions en français) VC(), VA(), NPM(), Taux() l'abréviation NPM signifiant "nombre payements mensuels".

Si le taux n'est pas constant dans le temps alors l'intérêt composé s'écrit:

  (128)

ce qui s'écrit également:

  (129)

avec et inversement:

  (130)

Dans un contexte de certitude de l'avenir (avenir certain), nous pouvons sans inconvénient majeur remplacer la séquence des  par leur moyenne géométrique:

  (131)

Cette relation est très importante car nous la retrouverons dans les calculs des prises de risques (Goodwil ou VAN).

Dans le cadre des intérêt cumulés (composés), deux notions importantes sont donc la "valeur actuelle" et la "valeur finale" acquise d'un capital.

En répondant à la question : "Quel capital obtenons-nous au bout d'un certain temps en plaçant aujourd'hui une somme X sur un carnet d'épargne?", nous faisons une recherche de valeur finale ou acquise d'un capital. Nous parlons alors "d'opération de capitalisation".

Par contre, si nous nous demandons : "Quel capital devons-nous placer aujourd'hui sur un carnet d'épargne pour obtenir au bout d'un certain temps un capital X ?", nous faisons une recherche de valeur actuelle d'un capital. Nous parlons alors "d'opération d'escompte" (c'est le propre du "calcul actuariel").

Définition: Nous appelons le "facteur de capitalisation" et le "facteur d'escompte" définis par les relations :

  (132)

ce qui nous amène par ailleurs à avoir .

Le relation de capitalisation composée peut alors se récrire :

  (133)

De même, le capital initial peut être exprimé avec le facteur d'escompte :

  (134)

Cela rend alors très simple le calcul d'actualisation ou de capitalisation puisqu'il s'agit de multiplier le capital ou initial par le facteur d'escompte ou de capitalisation élevé à la puissance n.

Rappelons maintenant la relation que nous avons obtenue lors de notre présentation initiale des taux équivalents :

  (135)

Souvent afin de se simplifier le calcul, la personne qui cherche le taux équivalent va se rapporter à poser (normaliser) . Ce qui nous amène à écrire :

et   (136)

vient alors une petite astuce du financier qui fait intervenir dans ses démarches de ventes le concept de "taux effectif" (déjà vu!) et "taux nominal". Ces taux permettent à l'émetteur de l'emprunt d'afficher un taux inférieur à ce qu'il est réellement (ce qui est interdit par la loi dans certains pays!).

Exemple:

Imaginons que les conditions d'un prêt soient les suivantes : intérêt annuel de (taux nominal) payable par tranches mensuelle de . Un individu attentif se rend compte que payer 1% tous les mois dans un système d'intérêts composés ne donne pas un intérêt annuel de 12% mais de :

....   (137)

qui est le taux effectif t% ! Pas forcément gagnant donc...

Maintenant, si plusieurs placements sont effectués simultanément pour des durées et à des taux différents, nous pouvons être amené à calculer le taux moyen T de l'ensemble de ces placementx.

Si nous notons le placement numéro t, le facteur de capitalisation du placement numéro t, la durée du placement numéro t, k le nombre de placements et finalement T le taux moyen de l'ensemble des placement nous pouvons à l'aide du calcul formel jusqu'au quatrième degré (voir chapitre de calcul algébrique) ou au-delà avec l'analyse numérique (prendre le solveur de MS Excel par exemple), résoudre l'équation :

  (138)

Si nous faisons un changement de variables nous avons alors résoudre l'équation de inconnues en x (tous les autres termes étant normalement connus dans l'énoncé du problème) :

  (139)

INTÉRÊT CONTINU

Rappelons que l'intérêt composé est défini en utilisant le taux effectif :

  (140)

Avec le taux nominal nous écrivons alors :

  (141)

Nous pouvons maintenant nous demander ce qu'il adviendrait tu taux effectif t% si l'intérêt était versé non pas mensuellement, ni quotidiennement, mais en continu, d'une manière instantanée. Nous écrivons alors (cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle):

  (142)

Ainsi, en cas de capitalisation continue, la fonction de capitalisation s'écrit finalement :

  (143)

INTÉRÊT PROGRESSIF (RENTES)

Définition: Une "rente" ou "annuité" est une suite de paiements versés périodiquement à intervalles de temps régulières et durant une période fixée d'avance à intérêt composé (typique des deuxième ou troisième piliers en Suisse).

Il suffit alors d'appliquer la relation (voir plus haut la démonstration) à chaque terme de rente versé si nous souhaitons connaître la valeur actuelle de cette rente.

Par contre, si nous souhaitons obtenir la valeur finale d'une rente, nous appliquerons à chaque terme la relation (voir plus haut la démonstration).

Définition: Si la rente est payable en fin de période, elle est dite "rente postnumerando". Par contre, si elle est payable en début de période, elle est dite "rente praenumerando", ce qui est la cas du dernier exemple.

Remarques:

R1. Les rentes qui sont toujours payées sont appelées "rentes certaines" et lorsque la durée est fixée d'avance, nous parlons de "rentes temporaires".

R2. Les rentes versées sur la base de la durée de vie d'un individu sont appelées "rentes viagères".

Puisque les termes sont souvent supposés constants, nous avons pour habitude de bases les calculs sur la valeur d'une unité monétaire. Ainsi, nous notons (les notations adoptées sont celles que nous trouvons dans la littérature car bien que peu pratiques, elles sont originales et jolies à regarder...) :

- la valeur actuelle d'une rente de une unité monétaire payable postnumerando (à terme échu) pour une durée de n périodes

- la valeur actuelle d'une rente de une unité monétaire payable praenumerando (d'avance) pour une durée de n périodes

- la valeur finale d'une rente de une unité monétaire payable postnumerando pour une durée de n périodes

- la valeur finale d'une rente de une unité monétaire payable postnumerando pour une durée de n périodes

Les relations utilisées utilisent les propriétés des séries géométriques et de leur somme partielle (cf. chapitre de Suites Et Séries).

RENTES POSTNUMERANDO

A terme constant, pour calculer la valeur finale d'un rente à échéance/postnumerando, nous pouvons donc travailler uniquement sur le facteur d'escompte en multipliant au final par le montant de la rente.

Exemple:

Nous souhaitons calculer la valeur finale d'une rente postnumerando de 3'500.- versée durant 10 périodes et calculée au taux d'intérêt périodique de 6%.

Les versements ont lieu aux dates 1, 2,.. et 10. Le versement de la date 1 a pour valeur acquise à la date 10 : . De même, le versement de la date 2 rapporte des intérêts pendant 8 ans. Sa valeur acquise date 10 est donc: etc. Finalement le versement de la date 10 (que nous venons de déposer à la banque) a pour valeur . La valeur acquise des 10 versements est donc, en posant (nous démontrerons les simplification juste après) :

  (144)

Donc la rente postnumerando est un versement à termes constants et à taux constant durant un nombre de périodes données amenant à une suite géométrique simple.

Rappelons donc que . Sous la forme de rente postnumerando à termes constants nous avons alors sous forme général:

  (145)

Ce qui s'écrit :

  (146)

donc :

  (147)

Or, nous avons donc une suite géométrique de raison q (cf. chapitre de Suites Et Séries). Dès lors :

  (148)

et donc :

  (149)

Finalement :

  (150)

Nous avons donc pour notre exemple dix périodes (dix termes donc avec ) :

  (151)

Ce capital correspond donc à la somme acquise au bout de dix périodes.

La méthode de calcul de la valeur actuelle d'un rente à échéance/postnumeran fonctionne sur le même principe mais à l'envers selon la relation démontrée plus haut. Donc si les termes (montants versés) sont constant nous pouvons écrire :

  (152)

donc :

  (153)

Or :

  (154)

alors :

  (155)

finalement :

  (156)

Remarque: La valeur correspondant donc au montant qu'il faudrait placer sur un carnet d'épargne à t% afin de pouvoir y faire un retrait périodique constant durant les n périodes et ainsi solder le compte.

Nous avons également les relations entre les rentes postnumerando actuelle et finale :

  (157)

Nous avons également les opération en chaîne suivantes :

  (158)

Remarque: Il est clair étant donné connus que et ainsi de suite pour les autres types de rentes.

RENTES PRAENUMERANDO

La méthode de calcul de la " valeur actuelle d'un rente à avance/praenumerando" fonctionne sur le même principe que la dernière toujours en utilisant la relation. mais cette fois les termes de la suite géométrique changent puisque le payement se fait à l'avance :

  (159)

donc :

  (160)

Or :

  (161)

alors :

  (162)

finalement :

  (163)

Remarque: Pour le même nombre de période et le même taux , nous avons car .

La méthode de calcul de la valeur finale d'un rente à avance/praenumerando fonctionne sur le même principe que la dernière toujours en utilisant la relation. mais cette fois les termes de la suite géométrique changent puisque le payement se fait à l'avance :

  (164)

donc :

  (165)

Or :

  (166)

alors :

  (167)

finalement en notant nous avons:

  (168)

Remarques:

R1. Avec la même notation nous avons par ailleurs la valeur actuelle de la rente praenumerando qui s'écrit

R2. Pour le même nombre de période et le même taux , nous avons car .

ARRONDIS

Pour arrondir un nombre x au multiple de 1/n le plus proche la relation à utiliser est la suivante :

  (169)

La démonstration est intuitive. Il suffit de s'imaginer l'axe des réels et de couper celui-ci en 1/n petits intervalles. Soit alors un nombre x donné, le nombre de ces intervalles dans x sera donné par :

  (170)

Enfin pour savoir quel est le nombre strictement inférieur au multiple recherché, nous prenons la valeur entière de la dernière relation et la multiplions par 1/n tel que :

  (171)

Si cependant, nous souhaitons avoir le nombre arrondi au multiple le plus proche, nous voyons alors qu'il faut rajouter 0.5 tel que :

  (172)

EMPRUNTS

Les individus et les entreprises recourent souvent à l'emprunt (crédit) comme moyen financier. Nous allons ici définir les principaux type d'emprunts rencontrés dans la pratique ainsi que les relations qui les caractérisent.

Définition: Nous appelons "emprunts indivis", un emprunt comportant qu'une seul prêteur, en général, un établissement financier.

Les principaux points concernant les emprunts sont :

- Connaître l'état de la dette à tout moment

- Connaître le montant à rembourser à chaque période

- Connaître l'intérêt dû à chaque période

Définition: Nous appelons "annuités", les paiements effectués dans le cadre des emprunt. Une annuité comprend une part de remboursement R appelée aussi "amortissement financier" et une part d'intérêt I selon la relation :

La décomposition de l'annuité en amortissement et intérêts est une notion importante non seulement en finance mais aussi en comptabilité. En effet, la part d'amortissement financier correspond à un remboursement de dette à la différence de l'intérêt qui est une charge financière.

Nous allons étudier ici trois types d'emprunts :

1. Les emprunts remboursables à échéance fixe

2. Les emprunts à remboursement constant

3. Les emprunts à annuité constante (les plus pratiqués)

Remarques:

R1. Nous considérons ici des emprunts périodiques. Le passage d'une période temporelle à une autre et le calcul d'un taux équivalent se fera selon les relations déjà démontrées plus haut.

R2. Des annuités mensuelles constantes sont appelées des "mensualités".

EMPRUNT À ÉCHÉANCE FIXE

Définition: Nous parlons d'un "emprunt à échéance fixe" lorsque chaque année, l'annuité comprend uniquement la part d'intérêt ! La dernière année, l'annuité comprend l'intérêt ainsi que la totalité (!) du remboursement de l'emprunt.

Remarque: Ce modèle d'amortissement est particulièrement utilisé dans les emprunts obligatoires, étudiés plus loin.

Les relations suivantes permettent d'établir n'importe quel élément du "tableau d'amortissement".

Ainsi, l'état de la dette (capital emprunté) C en début d'année k est :

  (173)

Le remboursement (amortissement) effectué en fin d'année k est égal à l'amortissement cumulé en fin d'année k et celui-ci n'a lieu qu'à la dernière année n tel que :

  (174)

l'intérêt payé sera constant tout au long de l'époque de remboursement selon un taux sur le capital d'emprunt tel que :

  (175)

L'annuité devient alors :

  (176)

Exemple:

Voyons le tableau d'amortissement d'un emprunt de 1'000.- à 10% l'an est remboursé à l'échéance au bout de 4 ans. Le tableau d'amortissement correspondant sera :

Le coût du crédit représente la somme des intérêts soit 400.-.

EMPRUNT A AMORTISSEMENT CONSTANT

Définition: Nous parlons d'un "emprunt à amortissement constant", lorsque montant annuel remboursé est constant, c'est-à-dire identique d'années en années.

Les relations suivantes permettent d'établir n'importe quel élément du tableau d'amortissement :

  (178)

Exemple:

Un emprunt de 1'000.- à 10% l'an est remboursé par amortissement constant en 4 ans. Établir le tableau d'amortissement et déterminer le coût du crédit. Le tableau d'amortissement correspondant sera :

Le coût du crédit représente la somme des intérêts soit 250.-.

EMPRUNTS A ANNUITÉ CONSTANTE

C'est la cas le plus fréquent (la définition est dans le titre même). Il est utilisé par la plupart des instituts de petit crédit et de leasing. L'emprunteur connaît d'avance la somme qu'il aura à payer d'années en années. En d'autres termes, c'est comme s'il s'agissait d'un capital C que l'on doit solder en faisant à chaque période un retrait constant A : ce qui consiste à déterminer la valeur actuelle d'un rente postnumerando tel que :

  (180)

Les relations suivantes permettent alors d'établir n'importe quel élément du tableau d'amortissement :

  (181)

et puisque , alors :

  (182)

dès lors, lorsque , nous avons conformément à ce que nous attendons .

Et donc l'amortissement est de :

  (183)

L'amortissement cumulé est un peu moins évident à trouver avec le bon sens, prenons pour démonstration un amortissement A avec taux t% sur n périodes. Nous avons par définition :

  (184)

avec k=2 et n=3 :

  (185)

d'où :

  (186)

Ainsi, nous avons :

  (187)

et aussi :

  (188)

Exemple:

Un emprunt de 1'000.- à 10% l'an est remboursé par annuité constante en 4 ans. Établir le tableau d'amortissement et déterminer le coût du crédit. Le tableau d'amortissement correspondant sera :

Le coût du crédit représente la somme des intérêts soit 262.-. Ce résultat pourrait s'obtenir par :