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La physique atomique est la partie de la physique qui s'occupe des états quantifiés d'énergie de la matière corpusculaire et ondulatoire et des échanges d'énergies au sein de l'atome (Larousse).

LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

Voici venu le moment de nous plonger dans les eaux obscures et impénétrables de la physique atomique.

Il va de soi que nous parcourerons les théories de la physique atomique que dans les grandes lignes. Nous passerons ainsi sur beaucoup de détails mathématiques qui auront déjà été démontrés et vérifiés dans d'autres chapitres du site.

La physique atomique comme vous le savez déjà certainement le monde de l'infiniment petit (points de dimension nulle). C'est un monde, vous le verrez, assez particulier où les lois classiques, celles qui gouvernent notre quotidien macroscopique, ne s'appliquent pas.

Ainsi, au début du 20ème siècle nous savions uniquement que les atomes étaient formés au plus simples par un noyau central et des électrons en orbite.

L'électron, la première particule subatomique (plus petite que l'atome) à nous être révélée, fut mis en évidence par des expériences sur les courants électriques dans les solides, les liquides et les gaz. Au 19ème siècle, les physiciens n'avaient aucune idée de ce qu'était la charge, si elle était continue ou particulaire. Aujourd'hui, nous savons que la charge est une propriété de la matière et que la charge totale dans un système est toujours un multiple d'une charge élémentaire correspondant à la charge d'un électron (ou d'un proton).

Michael Faraday suggéra par des expériences d'électrolyse que l'électricité était composée de particules de charge e et qu'une mole de ces charges (voir la section de chimie pour la définition de la mole) était équivalent à une charge de 1 Faraday soit 96'485 [C]. Comme le nombre d'Avogadro n'était pas connu à l'époque, il n'était pas possible de déterminer e. Cependant, une mole d'une substance monovalente pouvant transporter 1 [F] de charge, il devait s'ensuivre qu'une demie mole de la même substance devait transporter 1/2 [F] et ainsi de suite jusqu'à la plus petite unité de charge e, qui devait être transportée par la plus petite unité de masse m, correspondant à la masse d'un seul atome de cette substance. En 1881, Helmholtz affirma que si on acceptait l'hypothèse que les substances élémentaires étaient composées d'atomes, nous devions logiquement en déduire que l'électricité, tant positive que négative, devait être divisée en poritions finies qui devaient se comporter comme des atomes d'électricité. Stoney nomma cette unité fondamentale de charge "électron". La valeur élémentaire de charge se nomme aujourd'hui prosaiquement le "quantum de charge".

Toutes les charges subatomiques connues aujourd'hui qu'elles soient positives ou négatives, transportent une charge nette qui est un multiple de e (les quarks, bien sûr, ont une charge fractionnaire mais ils n'apparaissent pas comme entités isolées. Il existe également des charges fractionnaires dans l'effet Hall quantique mais cela est une tout autre histoire).

Encore aujourd'hui les meilleurs physiciens disent ne pas vraiment savoir ce qu'est un électron et même un atome. Au fait, on ne sait toujours pas ce qu'est vraiment la matière...

Les scientifiques ont tenté l'élaboration de plusieurs modèles pour expliquers les observations obtenues de résultats expérimentaux du monde microscopique. Ainsi, il y a eu dans l'ordre les modèles de Dalton, Thomson, Rutherford, Bohr, Sommerfeld et Schrödinger (ce dernier incluant les contributions majeures de Heisenberg, De Broglie, Pauli, Dirac et Einstein pour les plus fameux).

On peut situer la naissance de la physique quantique corpusculaire ou "physique des quanta" ("quantum" voulant dire "quantité fixe") en 1900, année où Max Planck présentant son célèbre article sur le rayonnement du corps noir (cf. chapitre de Thermodynamique) à une réunion de la société allemande de physique et l'incapacité de la physique classique (mécanique, thermodynamique, électromagnétisme) d'expliquer certains comportement de la matière au niveau microscopique, c'est-à-dire certains phénomènes où interviennent des particules de faibles masses localisées dans de très petites régions de l'espace.

Pour parvenir à donner une interprétation cohérente de ces expériences, il a été nécessaire d'introduire des concepts radicalement différents de ceux de la physique classique. Par exemple, on a dû abandonner la notion de trajectoire, la quantification de l'énergie (loi de Planck) et considérer que les particules microscopiques ont parfois un comportement semblable à une onde. L'ensemble de ces nouveaux concepts a donné naissance à une nouvelle physique, la "physique quantique", qui s'est dévelopée rapidement puisqu'en 1927, déjà, les fondements de la théorie sont achevés. Par son abandon des concepts-clés de la mécanique classique, on peut dire que la physique quantique constitue une véritable révolution (on l'appelle par ailleurs la "2ème révolution", la première étant la théorie de la relativité) dans notre façon d'interpréter les mesures expérimentales. Avec la relativité introduite par Einstein, la physique quantique est un des piliers de l'édifice théorique de la physique contemporaine du 21ème siècle. 

Tout comme la relativité contient la mécanique classique comme cas limite (les lois relativistes approchent les lois classiques lorsque la vitesse d'une particule est suffisament faible par rapport à celle de la lumière), la nouvelle physique quantique contient comme cas limites les lois classiques de la mécanique statistique voire même de l'électromagnétisme. 

Remarque: Nous verrons que la constante fondamentale qui caractérise la physique quantique (comme la vitesse de la lumière caractérise la relativité) est la constante de Planck.

MODÈLE DE DALTON

En 1803 John Dalton fit l'hypothèse que la matière est composée d'atomes de différentes masses et qui se combinent en respectant des proportions massiques simples (cependant l'idée d'atome n'était pas nouvelle elle datait de bien bien plus tôt). C'est cette théorie que Dalton proposa qui est la pierre d'angle de la science physique moderne. En 1808, l'œuvre de Dalton intitulée "Un nouveau système de philosophie chimique" fut publiée. Dans ce livre, il dressa la liste des masses atomiques d'un certain nombre d'éléments connus par rapport à la masse de l'hydrogène. Ses masses "U.M.A" (cf. chapitre de Physique Nucléaire) n'étaient pas entièrement correctes mais elles forment la base de la table périodique moderne des éléments. Dalton arriva à sa théorie atomique par une étude des propriétés physiques de l'air atmosphérique et des autres gaz.

Dalton supposa que l'atome était une sphère :

  (1)

Ainsi, il put faire une première estimation de la taille des atomes :

En effet, soit la densité typique,   la masse atomique et R le rayon (valeur inconnue) d'un élément dont nous recherchons à déterminer la dimension de l'atome. Nous avons alors très simplement:

  (2)

Connaissant  et , nous obtenons .

MODÈLE DE THOMSON

Thomson est à l'origine de la découverte de l'électron par ses expérimentations sur les flux de particules (électrons) créés par des rayons cathodiques. Théoricien et expérimentateur, Thomson avança en 1898 la "théorie du pain aux raisins" sur la structure atomique, dans laquelle les électrons sont considérés comme des raisins négatifs enfoncés dans un pain de matière positive. Son modèle de l'atome est représenté par la figure ci-dessous:

  (3)

Or, nous savons (les physiciens du 19ème le savaient aussi) qu'aucun arrangement de charges électriques statiques n'est stable si ces charges sont sous l'influence de la force de Coulomb:

  (4)

que nous avions étudiée dans la section d'électromagnétisme. Il faut donc que les particules qui constituent l'atome soient en mouvement ce qui nous amène à mettre en place un autre modèle : le "modèle de Rutherford" suivant :

MODÈLE DE RUTHERFORD

Rutherford assimila donc intuitivement par cette observation théorique, peu d'années après la découverte de Thomson, l'atome à un système planétaire. Représenté comme ci-dessous:

  (5)

Il appliqua les résultats que nous avons obtenus en astronomie (cf. chapitre d'Astronomie) lors de l'étude des orbites képleriennes à l'atome et obtint donc des trajectoires coniques pour la rotation de l'électron autour du noyau tel que:

  (6)

où e est l'excentricité (rapport du petit axe ) et p le paramètre focal () d'une ellipse (cf. chapitre de Géométrique Analytique) et où :

 et    (7)

Remarques:

R1. Il faudra se rappeler lorsque nous aborderons plus loin le modèle de Bohr que dans le modèle de Rutherford, r peut prendre n'importe quelle valeur théoriquement!

R2. Nous verrons lors de notre étude de la diffusion de Rutherford (cf. chapitre de Physique Nucléaire) que Rutherford détermina la taille de l'atome d'or comme valant . Nous avons donc un facteur 10'000 avec le modèle de Dalton (c'est dire...).

Or,  nous avons vu en électromagnétisme que les équations de déplacement de Maxwell (cf. chapitre d'Électrodynamique):

  (8)

et :

  (9)

décrivent qu'un électron en mouvement (accélération) émet de l'énergie (cf. chapitre d'Électrodynamique) sous forme de rayonnement électromagnétique (ce que nous appelons en physique le "brehmstrahlung" expliqué par les potentiel de Liénard-Wiechert):

Rutherford et Thomson se trouvèrent donc confronté au dilemme suivant:

Si l'électron émet de l'énergie sous forme de rayonnement électromagnétique , il perd donc de l'énergie cinétique (vitesse) et finira donc nécessairement un jour ou l'autre (sauf intervention extérieure) par tomber sur le noyau (illustration du phénomène dans la figure ci-dessous). Or la matière nous environnant est stable.

  (10)

Il rejetèrent donc leur modèle et Bohr intervient :

MODÈLE DE BOHR

En 1913 Niels Bohr, qui a participé aux travaux de Rutheford sur la diffusion des particules (noyaux de 2 protons, 2 neutrons libres d'électrons), reprend le modèle de Rutherford mais y inclut 3 postulats fondamentaux:

POSTULATS DE BOHR

P1. L'électron m'émet pas de rayonnement lorsqu'il se trouve sur certaines orbites dites "orbites stationnaires". Cette affirmation est contraire aux théories de l'électrodynamique. Donc ceci implique que toutes les orbites ne sont pas autorisées et constitue une véritable révolution dans l'approche de la physique.

P2. Sur toute orbite stable la quantité de mouvement p intégrée sur le chemin r est un multiple entier de la constante de Planck h (postulat découlant du premier) tel que selon la quantification des échanges d'énergie étables par la relation de Planck. Ce postulat est parfois appelé "hypothèse quantique de Planck".

P3. La relation expérimentale (loi) de Planck :

  (11)

est valable pour l'émission ou l'absorption d'une radiation lors de la transition d'un électron d'un état énergétique  ver un état  (postulat qui solidifie le premier postulat).

Au fait, nous trouvons ici un concept révolutionnaire et indémontrable (aujourd'hui et à notre connaissance) qui consiste à quantifier certaines propriétés de la physique.

Continuons donc notre analyse :

QUANTIFICATION

Soit M la masse du noyau central de charge électrique +e et m la masse de l'électron en "orbite". Nous faisons l'hypothèse que  et que la masse centrale est immobile (ce qui est évidemment faux).

Nous assimilons le mouvement circulaire de l'électron autour du noyau à celui d'un oscillateur harmonique (masse reliée à un ressort exercant une force opposée proportionnelle à une constante de rappel afin de retenir l'objet lié).

Si l'oscillation a lieu dans un plan, son équation différentielle est (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire) :

  (12)

Une solution (particulière) de cette équation (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) est :

  (13)

L'énergie cinétique du système étant donnée dès lors par:

  (14)

et l'énergie potentielle du système par (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire) :

  (15)

Si nous notons v la fréquence d'oscillation du mouvement oscillatoire nous avons a bien évidemment (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire) :

    (16)

L'énergie totale du système s'écrit finalement après sommation et simplification (trigonométrie élémentaire):

  (17)

Nous admettons maintenant que l'électron lié ne peut occuper que certains niveaux d'énergie (premier postulat) selon la loi de Planck :

  (18)

Ce qui nous donne lorsque nous incluons la loi de Planck dans l'avant dernière relation:

  (19)

Nous remarquons ici que puisque l'énergie de l'électron est quantifiée l'amplitude de son mouvement l'est également.

Soit à présent l'intégrale de chemin suivante (attention la notation ambiguë entre la fréquence et la vitesse peut porter à confusion) dite également "intégrale d'action" (il s'agit au fait du moment cinétique) :

  (20)

et compte tenu de l'expression de la vitesse obtenue auparavant:

  (21)

Sur une période de révolution nous avons :

  (22)

Etant donné que (cf. chapitre de Trigonométrie):

    (23)

L'intégration devient:

  (24)

comme  (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire) nous avons :

  (25)

Nous obtenons donc finalement:

  (26)

Compte tenu que  et  ainsi que :

  (27)

Finalement:

  (28)

Pour une orbite circulaire (rappelez-vous bien que nous considèrons pour l'instant une orbite circulaire !) de rayon r le moment cinétique (oui l'intégrale d'action n'est au fait que le moment cinétique) sur la longueur de l'orbitale est donc:

  (29)

où bien en utilisant la notation traditionelle du moment cinétique: 

  (30)

Le moment cinétique est donc quantifié !

MODÈLE DES ATOMES HYDROGENOÏDES SANS ENTRAINEMENT

Nous entendons par l'étude des "atomes d'hydrogonenoïdes sans entraînement" lorsque nous considèrons des atomes avec un unique électron de masse en rotation autour d'un noyau central de charge  et de masse tel que  (donc le noyau est supposé fixe).

Calculons les rayons des orbites stationnaires:

Sur son orbite stationnaire, l'électron est en équilibre car il y a un antagonisme exact entre la force coulombienne et la force centrifuge. Ceci doit se traduire par l'égalité des forces suivante :

  (31)

Nous posons à partir de maintenant (afin d'allégér l'écriture) que :

    (32)

Ce qui nous permet d'écrire la relation :

  (33)

En recourant à la condition de quantification de Bohr et en élevant au carré:

  (34)

En divisant les deux dernières relations l'une par l'autre:

  (35)

nous obtenons :

  (36)

compte tenu de l'expression de k.

Le rayon des orbites autorisées pour l'électron est donc :

    (37)

avec et cettre relation est communément appelée le "rayon de Bohr" pour .

Les orbites d'un atome selon ce modèle ressemblent donc à :

  (38)

L'énergie de l'atome hydrogénoïde sans entraînement est donnée par la mécanique classique (cas d'une force centrale), somme de l'énergie cinétique et potentielle électrostatique :

  (39)

Avec :

  (40)

il vient :

  (41)

En y introduisant l'expression du rayon quantifié obtenu précédemment:

  (42)

Nous trouvons donc que l'énergie totale de l'atome considéré est quantifiée telle que:

  (43)

Entre deux niveaux, le passage d'un électron du niveau vers un niveau  (nous préciserons comment lors de l'étude de l'effet photoélectrique plus loin) se traduit par l'émission d'une raie de fréquence donnée par l'expression de l'hypothèse de quantification de Planck :

  (44)

En faisant appel à l'expression complète de l'énergie totale, nous trouvons alors la fréquence correspondante à la raie émise:

  (45)

la longueur d'onde émise s'en déduit aisément :

  (46)

Un électron qui occupe une orbite n est dans un "état stationnaire" si son énergie ne varie pas. En revanche, une transition directe   s'accompagne de l'émission d'un photon dont l'énergie est donnée par le calcul de la fréquence comme nous allons le démontrer.

"L'énergie d'ionisation" est l'énergie qu'il faut fournir pour éloigner l'électron à l'infini de son orbite. Ainsi pour l'état fondamental de l'hydrogène, il faudrait poser  et .

Le résultat obtenu par Bohr pour l'expression de la fréquence en fonction des niveaux d'énergie de l'électron et est un résultat formidable car le chimiste Bâlois Balmer avait en 1885 (28 ans auparavant) découvert expérimentalement que le spectre des raies de l'hydrogène suivait aussi cette loi.

Balmer avait remarqué que les raies spectrales étaient extrêmement fines. Cela laissait supposer que l'énergie n'était pas émise par les atomes d'une manière continue mais seulement à certaines fréquences bien précises. En outre, cette finesse des raies explique la précision avec laquelle il avait pu déterminer la constante de Rydberg.

Les chimistes avaient également constaté que chaque élément atomique possédait son propre spectre. Il était dès lors clair que toute théorie atomique devrait rendre compte de ces 2 caractéristiques et c'est ce que fit brillamment le modèle de Bohr à l'aide des postulats des niveaux d'énergies.

Nous définissons les séries suivantes du spectre de l'atome d'hydrogène :

- Pour la série avec  et  on obtient le résultat des mesures effectuées (le spectre) par Lymann en 1906 dans l'UV.

- Pour la série avec  et  on obtient le résultat des mesures effectuées (le spectre) par Balmer en 1885 dans le visible.

- Pour la série avec  et  on obtient le résultat des mesures effectuées (le spectre) par Paschen en 1908 dans l'infrarouge.

- Pour la série avec  et  on obtient le résultat des mesures effectuées (le spectre) par Brackett en 1928 dans l'infrarouge.

- Pour la série avec  et  on obtient le résultat des mesures effectuées (le spectre) par Pfund en 1924 dans l'infrarouge.

  (47)

Les quatre raies principales de la "série de Balmer" (visible) sont les plus connues:

Cependant une petite différence subsistait entre la constante de Rydberg théorique et pratique (connue avec très grande précision). Ceci va conduire à complexifier le modèle :

MODÈLE DES ATOMES HYDROGENOÏDES AVEC ENTRAÎNEMENT

Le noyau de l'atome possède une masse M que nous avons supposé immobile par simplification. En réalité l'ensemble noyau (M) et électron (m) tourne autour d'un centre de masse commun (évidemment!).

Hypothèses:

H1. L'atome hydrogénoïde est considéré comme un système isolé.

H2. Le noyau et l'électron gravitent chacun sur une orbite circulaire autour d'un centre commun : le "centre de masse" (cf. chapitre de Mécanique Classique).

H3. Ils ont même vitesse angulaire.

L'atome hydrogénoïde étant un système isolé, le mouvement du centre de masse est soit en mouvement rectiligne et uniforme soit au repos. Il est donc licite d'y placer un système de repère inertiel.

  (48)

La définition du centre de masse dans un système de laboratoire est donné par le théorème du centre de masse (cf. chapitre de Mécanique Classique):

  (49)

L'étude présente sera effectuée par rapport au centre de masse, la relation précédente devient donc:

  (50)

De la relation précédente, en prenant la norme et la valeur absolue il vient que: 

  (51)

La distance entre le noyau et l'électron demeurant constante et égalant nous écrivons :

  (52)

Nous en déduisons trivialement que:

 et   (53)

En appliquant la loi de la dynamique, nous écrivons que la somme des forces sollicitantes (électrostatique et centrifuge) de l'électron (uniquement) s'équilibrent tel que:

  (54)

Que nous pouvons écrire en isolant :

  (55)

Nous retrouvons l'expression de la masse réduite bien connue dans un système à deux corps :

  (56)

Attaquons-nous maintenant à la détermination de l'énergie totale de l'atome:

L'énergie cinétique de l'atome est la somme des énergies cinétiques du noyau (N) et de l'électron (e) tel que:

  (57)

Comme  avec comme hypothèse que la pulsation est identique pour le noyau et l'électron:

  (58)

Avec les relations des différents rayons déterminées précédemment :

  (59)

et connaissant l'expression de la pulsation:

  (60)

Par ailleurs, de l'avant dernier développement nous tirons une relation dont nous allons faire usage plus loin :

  (61)

L'énergie potentielle de l'électron par rapport au centre de masse étant donnée par (cf. chapitre d'Électrostatique):

  (62)

L'énergie totale de l'atome hydrogénoïde est alors :

  (63)

Par rapport au centre de masse, le moment cinétique total est la somme des moments cinétiques de l'électron  et du noyau (rappelons que le moment cinétique est aussi souvent noté par la lettre L).

  (64)

La parenthèse de la dernière égalité a déjà fait l'objet d'un calcul précédemment et nous avons donc:

  (65)

c'est ici que Bohr introduit sa condition de quantification :

  (66)

or, nous connaissons l'expression détaillée de la pulsation :

  (67)

Le rayon quantifié a donc pour expression :

  (68)

L'énergie totale de l'atome devient finalement :

  (69)

Soit de manière condensée :

  (70)

A partir de cette dernière relation, nous pouvons déterminer facilement l'expression (comment nous l'avons déjà fait) des longueurs d'ondes émises par une désexcitation de l'électron d'un orbite  à .

Remarque: Il convient bien évidemment de rendre compte que ce modèle est plus précis que le précédent.

HYPOTHÈSE DU NEUTRON

Les résultats de spectroscopie sont connus avec très grande précision, par conséquent les constantes de Rydberg également (car dépendante de la masse de l'élément atomique étudié).

Les deux raies bleues mesurées de la série de Balmer de l'hydrogène noté ( composé d'un proton et d'un électron) et du deutérium D (isotope de l'hydrogène composé d'un neutron en plus) présentent une différence de longueur d'onde de  Angström.

La longueur d'onde appartenant à la série de Balmer s'exprime dès lors (avec la correction du centre de masse vue précédemment) comme:

  (71)

Cette dernière expression écrite successivement pour l'hydrogène et le deutérium mène à:

 et   (72)

Nous rappelons que la masse de l'électron nous est connue. Ce qui est intéressant c'est que deux éléments ont des propriétés chimiques identiques mais des raies différentes. Les scientifiques de l'époque se demandaient pourquoi et ayant (que) le modèle de Bohr à leur disposition ils ont pu conclure que cette différence dans les raies venait d'après les deux dernières relations de la différence de la masse du noyau de l'atome après avoir élaboré le modèle avec entraînement de l'atome hydrogénoïde.

Encore fallait-il déterminer cette différence de masse et expliquer sa provenance!

Nous avons donc:

  (73)

ce qui montra aux scientifiques de l'époque que le noyau de deutérium est formé de 2 particules de masse équivalente à celle du proton. Donc par déduction logique, ce noyau se doit d'être composé d'un proton (ce que l'on sait évidemment!) et d'une particule neutre.

Cette hypothèse et celle du "neutron", qui fut découvert ultérieurement de manière expérimentale en 1932 par Chadwick.

D'ailleurs vous pouvez vérifier dans votre table des isotopes (si vous en avez une…) que la différence de masse atomique (notion que nous verrons lors de notre étude de la physique nucléaire) est de 0.5001 !!!

MODÈLE DE SOMMERFELD ET WILSON

Pour élaborer leur modèle, Sommerfeld et Wilson firent appel à la dynamique classique pour généraliser le modèle de Bohr à des orbites de type kléperien (donc non uniquement circulaire mais elliptique dans le cas général).

Comme nous l'avons vu plus haut, dans le cas d'un système à deux corps sollicités par une force centrale, l'énergie totale du système est (nous négligeons l'énergie potentielle gravitationelle) :

  (74)

Pour trouver l'expression de la trajectoire de la masse m, nous allons procédér exactement de la même manière que celle utilisée en astronomie (cf. chapitre d'Astronomie) pour déterminer les orbites képleriennes.

Ainsi, nous avons démontré dans le chapitre d'Astronomie que :

  (75)

avec:

  et   (76)

Il va sans dire que dans notre cas, il ne  s'agit plus d'un potentiel gravitationnel mais électrique. Ce qui nous amène à écrire pour notre problème:

  (77)

Encore nous reste t'il à trouver l'expression de K sous forme quantifiée (selon les posulats de Bohr).

Attaquons-nous d'abord à déterminer l'expression du paramètre focal p de la trajectoire:

Dans notre problème actuel, l'énergie cinétique et pontentielle exprimées en coordonnées polaires donnent (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) :

et   (78)

L'énergie totale de l'atome est donc donné par:

  (79)

De façon identique à celle de Bohr, Sommerfeld et Wilson appliquèrent la même forme de quantification pour le rayon-vecteur et l'étendirent à la quantification pour l'angle azimutal.

Soit les moments cinétiques:

 et   (80)

Les quantités de mouvement s'obtiennent par dérivation du lagrangien par rapport aux coordonnées généralisées puisque (cf. chapitre de Mécanique Analytique):

  (81)

La quantifications sur l'angle est immédiate, puisque  est une constante du mouvement. Effectivement, le lagrangien L étant indépendant de  (mais pas de ), l'invariance du moment cinétique se traduit par l'équation de Lagrange:

  (82)

Ce qui nous donne:

  (83)

avec  étant le "nombre quantique azimutal", pour rappeler qu'il est lié à la quantification de l'angle polaire.

De cette dernière relation nous obtenons aussi :

  (84)

Revenons maintenant à:

  (85)

ce qui nous donne:

  (86)

Attaquons-nous maintenant à déterminer l'excentricité e de la trajectoire (à ne pas confondre avec la notation de la charge électrique si possible !).

Ce qui nous donne:

  (87)

Pour déterminer la quantification du moment cinétique par rapport à la variable radiale, nous allons nous servir d'une substitution:

  (88)

En notant simplement r' la dérivée , l'intégrale s'écrit:

  (89)

où nous avons utilisé comme nous l'avons déjà démontré.

En reportant:

  (90)

dans l'intégrale du moment cinétique radial, nous obtenons (simple à obtenir):

  (91)

d'où nous déduisons compte tenu de  que:

  (92)

ce qui nous amène à:

  (93)

et donc:

  (94)

Après quelques simplification élémentaires nous obtenons finalement :

  (95)

où , appelé également "nombre quantique radial" peut lui être nul! Car c'est le cas si  , c'est-à-dire si la trajectoire est un cercle (cas particulier de Bohr). 

Nous introduisons alors un entier n appellé "nombre quantique principal" tel que:

  (96)

avec . 

Sommerfeld et Wilson montrent par là que les orbitales du modèle de Bohr doivent pouvoir êtres déterminées par ces deux nouveaux nombres quantiques:

Exemple:

Pour  nous avons deux sous-orbitales possibles :

    (97)

La valeur  est impossible par définition car cela signifierait que le petit axe est nul (ellipse dégénérée en une droite) et l'électron ne peut traverser le noyau (dans le modèle classique en tout cas). Donc la plus petit valeur entière de possible est 1.

Il y a donc alors n orbites donnant le même terme spectral. Autrement dit, il y a n fois la même quantification d'énergie. Nous disons également que le niveau d'énergie (total) est "n fois dégénéré".

L'idée de Sommerfeld était de rendre compte de la richesse des spectres observés. De ce point de vue, les résultats sont décevants: la quantification de tous les degrés de liberté fait bien apparaître plus d'états (il faut maintenant deux nombres quantique pour spécifier complètement l'état, alors que le modèle de Bohr n'en considère qu'un) mais le degré supplémentaire ne fait qu'introduire une dégénérescence en énergie.

Pour résumer ce modèle, il y a donc exactement le même nombre de niveaux d'énergie et donc le même nombre de transitions d'états énergétiques possibles que celui de Bohr. Du point de vue spectral, la théorie de Sommerfeld-Wilson n'apporte rien de plus que celle de Bohr mis à part que les orbites sont elliptiques et n'explique donc pas l'étendue des spectres observés.

  (98)

Au fait, l'idée à partir de maintenant va de reprendre le même modèle en y ajoutant les corrections relativistes. Le travail va nécessairement être plus long mais ô combien fructueurx.

MODÈLE RELATIVISTE DE SOMMERFELD

Cependant, le modèle de Sommerfeld et Wilson peut être considéré comme incomplet si nous ne prenons pas en compte les variations de paramètres qu'engendre les résultats de la théorie de la relativité restreinte (cf. chapitre de Mécanique Relativiste).

Effectivement, comme nous l'avons démontré dans le développement du modèle de Bohr, l'énergie cinétique de l'électron est donnée par:

  (99)

ce qui nous donne:

  (100)

Pour l'hydrogène et le niveau , nous trouvons   et comme facteur de Michelson-Morley (cf. chapitre de Relativité Restreinte) :

  (101)

Certes, la variation est faible mais les valeurs de spectrométire étaient tellement précises qu'il fallait introduire la relativité restreinte pour prendre en compte ces infimes variations et ainsi valider la théorie par l'expérience.

Remarque: Comme nous pouvons le voir facilement, la relation donne que plus la particule est éloignée du noyau (n grand) plus sa vitesse est faible. Ce résultat a été confirmé expérimentalement en remplaçant l'électron artificiellement par un muon et les scientifiques ont ainsi remarqué que la durée de vie de ce dernier augmentait faiblement en fonction de la valeur de n.

Déterminons dans l'ordre des choses, l'expression des conditions de quantification avec les facteurs relativistes. Avant de commencer, il est important de comprendre que nous considérons le noyau comme fixe et comme référentiel de notre système. Ainsi, par rapport à ce référentiel la masse de l'électron subit une variation relativiste mais non le potentiel électrique (il faudrait prendre en compte la variation de ce dernier si et seulement si le référentiel était l'électron lui-même).

En dynamique relativiste (cf. chapitre de Relativité Restreinte), nous avons démontré que l'énergie cinétique (sous forme de notation Lagrangienne avec "T" au lieu de ) s'exprime sous la forme:

  (102)

L'énergie potentielle (sous forme de notation Lagrangienne avec "V" au lieu de ) ne subissant pas de variation relativiste, nous avons toujours:

  (103)

Le lagrangien est donc:

  (104)

En travaillant en coordonnées polaires, dans lesquelles la vitesse a pour expression:

  (105)

Dès lors:

    (106)

Les conditions de quantification de Sommerfeld étant:

  (107)

A présent, nous devons rechercher des expressions relativistes pour  et .

Commencons par :

avec   (108)

Soit:

  (109)

Ce qui donne:

  (110)

Comme :

  (111)

nous avons finalement:

  (112)

La première condition de quantification s'écrit donc:

  (113)

pour :

 avec   (114)

Soit:

  (115)

Ce qui donne:

  (116)

Comme :

  (117)

nous avons finalement:

  (118)

La seconde condition de quantification s'écrit donc:

  (119)

En résumé, les conditions de quantification de l'atome relativiste de Sommerfeld sont:

 et   (120)

Nous pourrions, en voyant les deux résultats ci-dessus, conclure un peu trop rapidement en pensant qu'il aurait suffit finalement de multiplier les deux conditions de quantification par le facteur de Michelson-Morley relativement à la transformation relativiste de la masse. Or, un tel raccourci est complétement faux et et tout sauf rigoureux ! Effectivement, si vous appliquez un tel raisonnement il suffirait alors de prendre l'expression de l'énergie totale du modèle non relativiste de Sommerfeld-Wilson et d'introduire partout où la masse se situe le facteur de Michelons-Morley. Pourtant le résultat final n'a absolument rien de semblant avec le résultat que nous allons obtenir plus loin. Il faut donc toujours être prudent et travailler comme le mathématicien sans brûler les étapes !

L'énergie totale relativiste de l'atome étant donnée par:

  (121)

Il nous faut exprimer cette énergie totale en fonction des conditions de quantification. Il y a un long travail mathématique à effectuer mais indispensable pour arriver au résultat de notre étude.

Soit le calcul de l'expression :

     (122)

avec :

 et   (123)

En élevant au carré:

 et   (124)

Donc:

  (125)

Nous ajoutons des deux cotés de l'égalité , ce qui donne :

  (126)

En multipliant des deux cotés par il vient :

  (127)

En extrayant la racine carrée:

  (128)

Si nous introduisons cette dernière relation dans l'expression de l'énergie totale, nous obtenons:

  (129)

Maintenant, il nous reste à déterminer les expressions de  et en fonction de  et respectivement .

L'intégrale de quantification de l'angle azimutal est immédiate :

  (130)

Soit:

  (131)

L'intégrale de quantification du rayon-vecteur nécessite un développement plus conséquent:

  (132)

Ensuite, viennent de longs et joyeux développements mathématiques:

En reprenant l'expression de l'énergie totale:

  (133)

Nous obtenons:

  (134)

En élevant au carré et en faisant quelques transformations:

    (135)

En travaillant sur le terme entre parenthèse, on le posera égal à A tel que:

  (136)

En ajoutant et en retranchent  et en décomposant le terme en  et ensuite en les regroupant :

  (137)

Nous posons en vue de simplification des calculs (pour alléger le nombre de termes à manipuler):

  (138)

Nous obtenons ainsi: 

  (139)

En mettant  en évidence, nous avons : 

  (140)

En ajoutant et en retranchant 1 dans la parenthèse:

  (141)

En travaillant, à présent, sur les trois derniers termes:

  (142)

Comme nous avons :

  (143)

En posant:

  (144)

Et en posant également:

  (145)

puisque  .

Sommerfeld introduit alors ce qu'il appelle une "constante de structure fine" définie par la relation:

  (146)

valant .

Remarque: La constante de structure fine est une des constantes les plus importantes de la physique. D'abord parce qu'elle est sans dimensions, et secondo parce qu'elle est à ce jour la mieux connue (au niveau de la précision) de toutes les constantes et terzio, parce qu'elle dépend que de termes qui semblent être des constantes fondamentales. Les physiciens et astrophysiciens cherchent donc à observer si la valeur de cette constante varie au cours du temps ce qui impliquerait immédiatement qu'une au moins des constantes implicites n'est pas atemporelle.

Compte tenu de la constante de structure fine, nous écrivons :

  (147)

En résumé:

  (148)

Avec:

  (149)

Nous voyons qu'il y a un résidu à l'origine . Nous calculons ce résidu en passant à la limite pour . Nous posons pour cela:

  (152)

En passant à la limite:

  (153)

Le résidu correspondant à est donc .

Nous voyons également qu'il y a un second résidu à l'infini :

Pour calculer ce résidu, nous effectuons à nouveau un changement de variable. Nous posons :

  (154)

L'intégrale s'écrit alors:

  (155)

Pour trouver le résidu, nous allons faire un développement en série de Laurent de:

  (156)

Pour ce faire, nous posons :

    (157)

Nous connaissons le développement de Taylor: 

  (158)

Appliqué au radical, nous obtenons :

  (159)

Soit alors la série de Laurent:

  (160)

Le second résidu est le coefficient en :

  (161)

En final, nous aboutissons à:

  (162)

Avec: 

  (163)

Pour le calcul de  nous avons :

  (164)

Dès lors, l'intégrale curviligne a pour expression:

  (165)

Après simplification:

  (166)

  (167)

Donc :

  (168)

d'où:

  (169)

Nous posons :

  (170)

En ajoutant et en retranchant :

  (171)

Donc:

  (172)

ou encore:

  (173)

Nous considérons dans le terme   le radical qui s'écrit encore:

  (175)

Soit le développement en série (cf. chapitre sur les Suites Et Séries) alors:

    (176)

Donc :

  (177)

Comme , nous pouvons négliger les termes au-delà de l'ordre 2 tel que:

  (178)

Le terme suivant s'écrit alors:

  (179)

En travaillant maintenant sur le terme entre les crochets et en considérant uniquement le carré sans tenir compte de son signe négatif (!):

  (180)

Soit le développement en série de Taylor de (cf. chapitre sur les Suites Et Séries) alors

  (181)

En négligeant les termes au-delà de l'ordre 2:

  (182)

Le terme entre les accolades s'écrit:

  (183)

Nous entreprenons le développement en série de Taylor du terme entre les accolades:

  (184)

En développant le carré du troisième terme, il vient :

  (186)

Soit:

L'énergie totale de l'atome devient :

   (188)

Finalement, nous obtenons pour l'expression de l'énergie:

  (189)

Nous pouvons donner une autre expression pour l'énergie de l'atome hydrogénoïde puisque :

  et    (190)

L'expression de l'énergie totale de l'atome hydrogénoïde devient:

  (191)

Soit:

  (192)

Dans la littérature, nous trouvons d'autres expressions pour l'énergie totale qui sont plus intéressantes que les précédentes (car plus traditionelles). Ainsi, en considérant que , il vient:

  (193)

Si nous cherchons une expression en fonction de la constante de Rydberg (voir plus haut) :

  (194)

Donc l'expression de l'énergie totale relativiste de l'atome hydrogénoïde la plus condensée que nous puissions trouver dans la littérature et que nous adopterons dans le présent site est:

  (195)

La relation ci-dessus révèle bien l'existence d'une structure fine puisque les caractéristiques   et    de l'orbite de l'électron apparaissent séparément dans un rapport et non plus uniquement sous la forme d'une somme comme dans le premier modèle de Sommerfeld et Wilson.

Mais en toute rigueur, nous devrions écrire du fait de l'entraînement du noyau par la multiplication par le terme :

  (196)

ou:

  (197)

Dans la quelle la constante de Rydberg a pour expression:

  (198)

Cependant comme la masse du noyau est 1840 fois plus lourde que celle de l'électron, nous pouvons admettre en première approximation que:

  (199)

MOMENT MAGNÉTIQUE DIPÔLAIRE QUANTIQUE

A la même époque du développement d