PHYSIQUE QUANTIQUE CORPUSCULAIRE | PHYSIQUE QUANTIQUE ONDULATOIRE
PHYSIQUE QUANTIQUE RELATIVISTE | PHYSIQUE NUCLÉAIRE
PHYSIQUE QUANTIQUE DES CHAMPS | PHYSIQUE DES PARTICULES ÉLÉMENTAIRES

LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

Remarque: L'extension relativiste pertinente de la mécanique quantique est la physique quantique relativiste (cf. chapitre du même nom).

La mécanique quantique a repris et développé l'idée de dualité onde-corpuscule introduite par De Broglie en 1924 (voir plus loin) consistant à considérer les particules de matière non pas seulement comme des corpuscules ponctuels, mais aussi comme des ondes, possédant une certaine étendue spatiale (cf. chapitre de Physique Quantique Corpusculaire). Bohr a introduit le concept de complémentarité pour résoudre cet apparent paradoxe : tout objet physique est bien à la fois une onde et un corpuscule, mais ces deux aspects, mutuellement exclusifs, ne peuvent être observés simultanément. Si nous observons une propriété ondulatoire, l'aspect corpusculaire disparaît. Réciproquement, si l'on observe une propriété corpusculaire, l'aspect ondulatoire disparaît.

A ce jour, aucune contradiction n'a pu être décelée entre les prédictions de la mécanique quantique et les tests expérimentaux associés. Ce succès a hélas un prix : la théorie repose sur un formalisme mathématique abstrait, qui rend son abord assez difficile pour le profane. Ceci à pour conséquence que bon nombre d'ouvrages à son sujet (dont le présent texte ne serait être exclu), qu'ils s'adressent à des spécialistes ou non, voient leur explications ou textes soumis à de nombreuses critiques d'interprétations.

Pour en sortir il est favorable de prendre pour base le "principe d'objectivité" du à Heisenberg qui est à la base de la "mécanique quantique standard" : existe ce qui est expérimentalement observable.

Ce principe est admis par la majorité des physiciens, mais non la totalité. Un électron est il présent à plusieurs endroits? Pour que cela soit recevable il faut une expérience qui le trouve à plusieurs endroits, ce qui est impossible donc nous ne sommes pas tenu de répondre à la question! Dire qu'il est à plusieurs endroits avant qu'on l'observe n'est pas recevable en physique: principe d'objectivité. D'une manière générale, nous allons renoncer à la notion de trajectoire et de mouvement, ce qui va permettre, de lever la contradiction du freinage par rayonnement (cf. chapitre d'Electrodynamique) : car s'il n'y a plus de mouvement au sens classique les notions de vitesse et d'accélération perdent tout sens.

Une minorité de physiciens nient ce principe et ont fondé une mécanique quantique non standard avec des grandeurs classique ce qui explique que l'on puisse trouver surtout dans les revues de vulgarisation des exposés qui s'écartent de la mécanique quantique standard (celle de la majorité des physiciens). Cette version non standard donne les mêmes prévisions pour tout expérience réalisable, c'est donc un modèle possible.

En conclusion la mécanique quantique est une théorie inachevée beaucoup de points restent obscurs. Il est donc normal qu'il y ait plusieurs interprétations.

POSTULATS

Contrairement à la majorité des ouvrages sur le sujet, nous sommes pédagogiquement (et non pas techniquement!) très peu convaincus quant à l'impact de la présentation des postulats de la mécanique quantique au début de son étude dans les classes. Nous nous permettons d'exposer nos raisons (expérience faite):

1. Ils peuvent se déduire de raisonnements mathématiques simples et logiques (algèbre élémentaire et probabilités) fondées sur les postulats de la physique quantique corpusculaire et du principe de complémentarité et découlent donc d'une évolution de cette dernière.

2. Ces postulats sont indigestes, voir incompréhensibles si la mécanique quantique (son formalisme et son vocabulaire) n'a pas été d'abord appréhendée par un certain nombre d'exercices ou d'usage réguliers (s'aider d'un exemple pratique de cette théorique comme l'informatique quantique).

Nous pouvons alors considérer que les seuls éléments non démontrables théoriquement (à notre connaissance) qui auraient leur place au rang de postulat seraient : le principe de complémentarité de De Broglie (nous en parlerons plus tard) et la loi de Planck (déjà vue au chapitre précédant).

Cependant..., dans l'objectif de respecter la tradition, et de respecter la méthodologie scientifique, nous avons choisi de quand même présenter ces postulats en début de ce chapitre. Nous conseillons cependant vivement au lecteur non averti, de lire ceux-ci sans trop chercher à les comprendre mais simplement de penser à y revenir plus tard, une fois que tout le reste du chapitre aura été lu. Dès lors, tout deviendra très probablement limpide et la lumière sera…

Remarques: Nous verrons des cas pratiques dans ce chapitre même, de la théorie quantique pour un usage ultérieur en physique quantique des champs et physique nucléaire. Nous conseillons cependant au lecteur de lire en même temps le chapitre d'Informatique Quantique qui semblerait-il aide plus que grandement la compréhension de certains passages un peu trop théoriques présentés ici.

1ER POSTULAT : ÉTAT QUANTIQUE

L'état d'un système quantique classique est spécifié par les coordonnées généralisées (cf. chapitre de Mécanique Analytique) et est complètement décrite par une fonction , dite "fonction d'état" ou "fonction d'onde", dont le module au carré (multiplication de la fonction par son conjugué) donne la densité de probabilité de trouver instantanément le système dans la configuration au temps t (si le système est dépendant du temps):

  (42.1)

Remarques:

R1. Le fait que nous parlions "d'onde" au lieu de "particule" vient au postulat génial et ma foi assez logique de De Broglie que nous appelons "postulat de complémentarité" (que nous détaillerons plus loin) et qui associe à tout particule de matière, une onde.

R2. Le fait que nous traitions des probabilités et que celle-ci soit proportionnelle au carré du module de la fonction d'onde vient des principes d'incertitudes de Heisenberg que nous démontrerons plus loin et principalement de l'expérience des fentes de Young avec des électrons (cf. chapitre d'Optique Ondulatoire) sur laquelle nous reviendrons aussi.

En corollaire, la particule étant nécessairement située quelque part dans l'espace entier, nous avons la condition de normalisation :

  (42.2)

En d'autres termes doit être normée, ce que nous appelons "condition de normalisation de De Broglie".

Remarques:

R1. Notons que même normée, est déterminée à un facteur de phase près. De plus, il est préférable que soit différentiable, car des opérateurs différentiels agissent sur elle pour obtenir des prévisions théoriques sur des propriétés mesurables, et finie pour qu'elle soit normalisable...

R2. Lorsque l'intégrale donnée plus permet d'obtenir une quantité finie, nous disons qu'elle est de "carré sommable".

Rapellons qu'un "facteur de phase" est un facteur complexe constant de module unitaire. Nous pouvons l'écrire selon ce que nous avons étudié dans le chapitre des Nombre lors de notre étude des nombres complexes , où est un angle quelconque, appelé la "phase" (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire).

Nous pouvons formuler ce postulat de manière un peu plus formelle car comme nous le verrons dans plusieurs exemples, la fonction d'onde est souvent un polynôme complexe qui peut dès lors s'exprimer dans l'espace de Hilbert des polynômes.

Cela donne dès lors dans le langage du formalisme bra-ket de Dirac :

Le vecteur d'état ket appartenant à l'espace vectoriel (espace de Hilbert) définit l'état du système quantique à l'instant t. Ce vecteur d'état possède toutes les propriétés mathématiques requises par la physique quantique et en particulier le produit scalaire du vecteur par le vecteur dual (conjugué complexe) doit satisfaire le produit scalaire fonctionnel :

  (42.3)

Remarque: La notation bra-ket a été introduite par Paul Dirac pour faciliter l'écriture des équations de la mécanique quantique, mais aussi pour souligner l'aspect vectoriel de l'objet représentant un état quantique.

Les deux relations:

et   (42.4)

sont donc équivalentes!

Si le système n'est par perturbé, l'évolution (non relativiste!) de son état est gouvernée par l'équation de Schrödinger d'évolution (dépendante du temps donc) :

  (42.5)

Cette relation signifie simplement que c'est l'opérateur "énergie totale" du système ou "hamiltonien" H, qui est responsable de l'évolution du système dans le temps. En effet, la forme de l'équation montre qu'en appliquant l'hamiltonien à la fonction d'onde du système, on obtient sa dérivée par rapport au temps c'est-à-dire comment elle varie dans le temps.

Remarque: Nous démontrerons plus loin cette relation (ce ne sera pas trivial mais c'est possible et donc cela élimine le besoin de la définir en tant que postulat).

Dans cette dernière relation, H est l'opérateur l'hamiltonien (énergie totale) du système que nous démontrerons comme valant dans un cas particulier et simple :

Dans le cas où le potentiel est indépendant du temps (correspondant à un système conservatif en mécanique classique), il existe (nous le verrons dans des exemples) un ensemble de solutions particulières indépendantes du temps et satisfaisant (relation dont nous démontrerons la provenance) :

  (42.7)

où est appelée une "fonction propre" (en analogie avec les vecteurs propres vu en algèbre linéaire) de l'hamiltonien/opérateur H avec valeur propre/observable.

Ces solutions particulières décrivent alors des états spéciaux appelés "états stationnaires" (puisque indépendants du temps...).

Remarque: L'équation aux valeurs propres précédente est souvent appelée "équation de Schrödinger indépendante du temps". Elle définit les états stationnaires et n'a un sens que si le système est conservatif.

C'est surtout l'équation de Schrödinger indépendante du temps qui concerne la chimie quantique (sujet que nous traiterons dans une autre section du site). Nous cherchons en effet à obtenir les fonctions d'onde décrivant les états stationnaires, et surtout l'état de la plus basse énergie, "l'état fondamental", des atomes et des molécules. Les transitions observées en spectroscopie s'effectuant entre ces états stationnaires (nous le démontrerons plus loin), leur détermination est donc un prérequis pour l'étude de la spectroscopie. Cependant, il faut bien se rappeler que c'est l'équation d'évolution de Schrödinger, qui est l'équation fondamentale de la physique quantique ondulatoire (dans un premier temps…) : elle joue le même rôle que l'équation de Newton en mécanique classique, soit celui d'une équation de mouvement.

R2. Au fait, nous verrons que l'équation d'évolution de Schrödinger n'est qu'un cas particulier de ce que nous appelons "l'équation de Klein-Gordon libre" qui elle-même est un cas particulier de l'équation de "Klein-Gordon généralisée", elle-même étant un modèle limité par rapport à "l'équation de Dirac linéarisée" (cf. chapitre de Physique Quantique Relativiste)...

3ÈME POSTULAT : OBSERVABLES ET OPÉRATEURS

A chaque propriété physique mesurable (observables) ( étant les coordonnées généralisées et les moments généralisés selon ce qui a été vu au chapitre de Mécanique Analytique) d'un système correspond un opérateur linéaire dit "opérateur hermitique" (voir le traitement des espaces hilbertiens dans le chapitre de Calcul Vectoriel) associé (l'opérateur peut aussi être un matrice!).

Rappel : Un opérateur sur un espace de Hilbert (complexe) H (à ne pas confondre avec la notation de l'hamiltonien) est dit "hermitien" ou encore "hermitique" s'il est égal à la transposée de son conjugué (auto-adjoint) ce qui est noté (nous avons déjà vu cela dans le chapitre d'Algèbre Linéaire avec les matrices hermitiennes).

Exemples (non exhaustifs dont nous verrons les origines plus loin!):

E1. Coordonnées (rien de particulier) :

  (42.8)

E2. Quantité de mouvement (nous le démontrerons) :

  (42.9)

E3. Moment cinétique (ce que nous démontrerons aussi) :

  (42.10)

Remarques:

R1. Cela peut sembler compliqué et abstrait (on pourrait croire que cela tombe du ciel), mais nous verrons que cela vient tout seul lorsque nous ferons les développements plus loin de quelques exemples bien concrets ou lors de la lecture du chapitre d'informatique quantique.

R2. Dans le cadre de ce site, nous notons indifféremment, les opérateurs et les observables sans circonflexes (c'est au lecteur de savoir sur quoi nous travaillons).

Nous verrons par ailleurs que les opérateurs ne sont pas commutatifs et qu'ils obéissent à ce que nous appelons des "relations d'anti-commutation" (qui sont à l'origine des principes d'incertitudes de Heisenberg).

Exemple (que nous démontrerons plus loin!):

  (42.11)

Nous verrons par ailleurs trivialement à l'aide d'un cas pratique que deux observables dont les opérateurs commutent tel que :

  (42.12)

possèdent une base de vecteurs propres commune. Nous disons alors qu'ils sont simultanément mesurables avec précision (dans le cas contraire nous avons une incertitude… de Heisenberg). Les deux grandeurs peuvent alors être appelées "observables compatibles" O.C.

L'ensemble des O.C. compatibles attachées à un système physique constituent un "ensemble complet d'observables compatibles" (ECOC).

4ÈME POSTULAT : MESURE D'UNE PROPRIÉTÉ

Soit , une grandeur physique. La conséquence du postulat précédent est que la mesure de donne donc toujours une valeur propre de l'opérateur hermitique associé, . En d'autres termes, les seules valeurs observables de la propriété sont les valeurs propres de l'opérateur !

Les vecteurs propres et les valeurs propres d'un opérateur ont une signification spéciale: les valeurs propres sont les valeurs pouvant résulter d'une mesure idéale de cette propriété, les vecteurs propres étant l'état quantique du système lors de cette mesure.

C'est à cause de ce postulat qu'il est important de s'assurer que toute propriété physique soit représentée par un opérateur hermitique. En d'autres termes, l'hermiticité de assure que ses valeurs propres sont réelles.

5ÈME POSTULAT : MOYENNE D'UNE PROPRIÉTÉ

Ce postulat est le moins intuitif et le plus difficile à démontrer (la démonstration ne se trouve pas encore sur le site). Son énoncé est le suivant : la valeur moyenne (espérance) d'une propriété physique , quand le système se trouve dans l'état décrit par est donnée par :

  (42.13)

Une expression équivalente est la suivante : la probabilité de trouver la valeur propre (de l'opérateur hermitique ), lors d'une mesure de la propriété effectuée au temps t sur le système quantique préparé dans l'état décrit par le vecteur ou la fonction , est donnée par le carré du module de la projection de la fonction ou vecteur d'état sur la fonction ou vecteur propre associée à la valeur propre (et son opérateur):

  (42.14)

où la "projection" ou "représentative" est définie par :

  (42.15)

l'indice k étant ici pour indique qu'il peut y avoir pour certains opérateurs plusieurs valeurs et vecteurs propres.

Remarque: Nous reviendrons sur ce formalisme et ces relations plus tard. Cependant un excellent exemple pratique est proposé dans les premières pages du chapitre d'Informatique Quantique.

PRINCIPES D'INCERTITUDES CLASSIQUES

Avant de s'attaquer directement à la physique quantique et à ses outils mathématiques (et démonstration des cinq postulats), nous devons d'abord introduire un exemple classique simple dans lequel apparait un type particulier de phénomènes : la présence intrinsèque de l'incertitude dans toute mesure.

Cette étude sous forme classique et pas très rigoureuse, nous aidera à mieux appréhender l'incertitude quantique (nous l'espérons) que nous étudierons et déterminerons plus tard et qui elle n'est pas d'origine expérimentale!

Imaginons que nous souhaitions mesurer au moyen d'un microscope l'abscisse x d'une particule et les composantes de sa quantité de mouvement p. Pour cela, un faisceau de lumière monochromatique (pour simplifier) parallèle à éclaire la particule, il faut qu'au moins un photon choque la particule et parvienne à l'œil de l'observateur, pour que la mesure de x soit possible :

  (42.16)

Une fois x mesuré, nous pouvons imaginer n'importe quel procédé pour mesurer la quantité de mouvement. 

Soit l'angle que fait la direction du photon après le choc, avec . Supposons pour alléger les calculs que la particule ait une masse assez élevée pour que nous puissions négliger le changement d'énergie du photon. Nous voyons qu'après le choc, les composantes de la quantité de mouvement du photon selon et sont:

  (42.17)

Effectivement, rappelons que les relations entre les ondes électromagnétiques, l'équivalence masse-énergie et la quantité de mouvement (cf. chapitre de Relativité Restreinte) sont les suivantes :

  (42.18)

Il s'ensuit que la particule peut voir sa quantité de mouvement altérée. Les composantes de sa variation sont (ne pas oublier qu'initialement elle était nulle en z):

entre sa quantité de mouvement initiale et finale.

La seule information que nous possédons sur l'angle , c'est que ce dernier est strictement, en module, égal à l'angle d'ouverture u de l'objectif du microscope (restriction technique).

Donc cela implique que :

  (42.20)

PREMIÈRE RELATION D'INCERTITUDE CLASSIQUE

Quand nous aurons mesuré la quantité de mouvement p à la fin de l'expérience, il faudra effectuer les corrections :

  (42.21)

de la quantité de mouvement du photon pour savoir la vraie valeur de p de particule juste avant le début de la mesure. 

Dans ces corrections, il y a une partie inconnue qui correspond à des erreurs de mesure sur et . Il est possible d'établir avec encore quelques petites finesses… que l'erreur maximale de et sur la quantité de mouvement initiale est donnée trivialement par la composante x de la "première relation d'incertitude classique":

puisque nous avons .

Puisque nous avons la relation trigonométrique remarquable suivante (cf. chapitre de Trigonométrie) :

  (42.23)

et que , nous obtenons dès lors aussi la première relation d'incertitude pour la composante z :

Rappelons maintenant que (cf. chapitre d'Optique Ondulatoire) pour une fente rectangulaire nous avons en posant :

  (42.25)

où (en optique ondulatoire) est l'angle permettant de distinguer clairement deux minimas de diffraction (et donc clairement un objet émettant un rayonnement identique entre deux points). Inversement, du point de vue de la diffraction, l'ouverture e est donc donnée par :

  (42.26)

La valeur de e peut aussi être vue comme le champ de vision (projection orthogonale de la fente sur l'axe X) de largeur de la particule. Dès lors :

  (42.27)

Au même titre que l'erreur maximale est donnée par la condition , nous pouvons aussi écrire  , cela nous amène à écrire que :

  (42.28)

DEUXIÈME RELATION D'INCERTITUDE CLASSIQUE

Si nous multiplions: 

 et     (42.29)

nous obtenons la "deuxième relation  d'incertitude classique" également appelée "l'incertitude spatiale classique" :

qui représente donc l'erreur maximale expérimentale d'un microscope à faible ouverture rectangulaire (que de conditions!). 

Remarque: Le lecteur vérifiera sans peine que cette relation appliquée pour un objet macroscopique (de l'ordre du centimètre) dont la position serait mesurable avec une précision de l'ordre du micromètre donne une incertitude ridiculement faible sur la quantité de mouvement et donc la vitesse. Par contre, la même relation appliquée pour la masse d'une particule telle que l'électron avec une précision de mesure de la position supposée du dixième de nanomètre donnera une incertitude sur la vitesse de l'ordre 1'000 [m/s]...!!

Ainsi, si nous essayons de situer une particule avec de plus en plus grande, sa quantité de mouvement atteint des valeurs extrêmes. À un certain point, la quantité de mouvement peut être si grande que l'énergie correspondante est suffisante pour produire une paire de particule-antiparticule. En d'autres termes, si nous essayons de confiner une particule dans une boîte de plus en plus petite, d'une part, nous connaissons de moins en moins sa quantité de mouvement et par le fait, nous ne savons même pas combien de particules il y a dans la boîte!

Cependant (!), nous verrons lors de l'étude des commutateurs appliqués à la théorie de la physique quantique, que la vraie relation d'incertitude (dont la valeur diffère de celle ci-dessus) apparaît tout naturellement uniquement à partir de propriétés mathématiques et de la définition de la quantité de mouvement.

Plus généralement, pour une particule dans un volume à dimensions (x, y, z), un état classique est caractérisé par les 6 quantités  dans l'espace de phase (espace de phases qui est donc de dimension 6) et l'état quantique occupe le "cube" de volume:

  (42.31)

Examinons le produit de :

 avec   (42.32)

tel que:

  (42.33)

et supposons que u soit petit et intéressons nous au rapport  quand u tend vers zéro…

Nous avons dès lors:

  (42.34)

ce qui nous donne finalement (en première approximation) : 

  (42.35)

Nous voyons qu'il est possible de jouer sur la variable u pour l'indétermination en z mais cela devient par contre impossible lorsqu'il s'agit de l'indétermination en x.

TROISIÈME RELATION D'INCERTITUDE CLASSIQUE

En relativité restreinte, nous avons vu que x, y, z, ct constituent les composantes d'un quadrivecteur d'espace-temps ainsi que un vecteur d'énergie-impulsion. 

Il est donc naturel de compléter les trois relations spatiales  par extension :

  (42.36)

Nous obtenons ainsi la "quatrième relation d'incertitude classique" appelée également "incertitude temporelle classique" :

  (42.37)

Cependant (!), nous verrons lors de l'étude des commutateurs appliqués à la théorie de la physique quantique, que cette relation d'incertitude (dont la valeur diffère de celle ci-dessus) apparaît tout naturellement uniquement à partir de propriétés mathématiques et de la définition de la quantité de mouvement.

Remarque: Nous reviendrons plus tard sur les implications de cette incertitude temporelle dont les implications sont à la base de la cosmologie quantique (et de la création de notre Univers) et de la théorie quantique des champs en particulier en ce qui concerne le potentiel de Yukawa (cf. chapitre de Physique Quantique Des Champs).

Les incertitudes classiques établies vont nous permettre de mieux comprendre les incertitudes sous leur forme quantique réelle. Pour cela, parmi d'autres, il va nous falloir faire usage de l'artillerie mathématique nécessaire. Cependant, dans un souci  de clarté, nous avons souhaité présenter la physique quantique ondulatoire de la manière la plus simple et la moins formelle possible. Cette présentation peut porter le lecteur à de nombreux contre-sens!

ALGÈBRE QUANTIQUE

Sous ce terme peu courant et non officiel "d'algèbre quantique" (donc à ne pas en abuser!) nous souhaitons introduire et rappeler au lecteur des outils ou "êtres" mathématiques qui vont nous êtres très utiles pour résoudre certaines équations de la physique quantique. Il est donc de première importance de comprendre (ou d'avoir compris, en ce qui concerne les rappels) au mieux ce qui va suivre!

Remarque: Les puristes risquent de grimper aux rideaux en lisant ce qui va suivre mais pour plus de précision ils peuvent se rendre dans les chapitres traitant dans les détails de la matière qui va suivre.

OPÉRATEURS LINÉAIRES FONCTIONNELS

Définition: Les "opérateurs linéaires" sont des êtres mathématiques agissant sur des fonctions ou vecteurs (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).

Les fonctions sur lesquelles peuvent opérer ses opérateurs peuvent être des fonctions d'une seule variable x, soit f(x), ou des trois coordonnées d'un point x, y, z soit f(x, y, z) ou écrit encore plus brièvement .

Nous serons amenés à écrire des intégrales de ces fonctions, qui sont le plus souvent étendues à tout l'espace. Dans le cas d'une fonction des trois coordonnées spatiales d'un point, nous adopterons la notation suivante :

  (42.38)

Ces notations, indispensables pour l'allègement des expressions que nous rencontrerons en physique quantique étant données, nous en revenons à nos opérateurs.

Partant d'une fonction f, si nous savons lui associer une fonction g de même nature, c'est-à-dire dépendant des mêmes variables, nous pouvons dire que g est le résultat de l'action d'un opérateur  sur f et écrire cela symboliquement comme un produit simple :

    (42.39)

Mais nous introduisons tout de suite une restriction fondamentale: seuls nous intéressent les opérateurs linéaires (comme en algèbre linéaire quoi...), c'est-à-dire tels que:

  (42.40)

quels que soient les coefficients ₁ et ₂.

Une catégorie très simple d'opérateurs est constituée par les nombres (scalaires). En effet,  étant un nombre:

  (42.41)

dépend linéairement de f, définissant un opérateur linéaire que nous écrivons . Il y a deux cas particuliers importants:

1. Opérateur zéro:  où  sera une fonction bien évidemment nulle partout

2. Opérateur unité ou identité:  où (ce qui est tout aussi simple...)

Remarque: L'opérateur "Nabla" est également un opérateur linéaire fonctionnel (nous le verrons un peu plus loin).

Nous vérifions sans peine pour les opérateurs fonctionnels que ces derniers sont commutatifs par rapport à l'addition, associatifs par rapport à l'addition et la multiplication et distributif par rapport à l'addition à gauche et à droite (cf. chapitres de Théorie des Ensembles et Algèbre Linéaire au besoin).

Jusqu'à présent, rien ne distingue l'algèbre des opérateurs de celle des nombres. Mais il y a cependant deux propriétés qu'il faut toujours avoir en tête pour ne pas commettre des erreurs quand nous faisons du calcul d'opérateurs:

1. Deux opérateurs ne commutent pas en général par rapport à la multiplication (comme en algèbre linéaire...), c'est-à-dire qu'en général soit deux opérateurs fonctionnels et :

  (42.42)

Si nous rencontrons une expression telle que , nous n'avons donc pas le droit d'effectuer en général, la mise en facteur (il s'agit donc d'un structure particulière de groupe qui est non-commutatif).

Exemple:

Un exemple simple et important, car utile pour la suite (très proche d'un cas pratique que nous verrons plus loin), de deux opérateurs qui ne commutent pas avec une fonction d'une seule variable est le suivant (où f est quelconque). Considérons l'opérateur d/dx agissant sur xf(x) :

  (42.43)

en simplifiant par f :

  (42.44)

Donc nous avons a ci-dessus un exemple de deux opérateurs qui ne commutent pas puisque:

  (42.45)

Alors que tous les nombres, autres que zéro, ont un inverse, un opérateur  non nul peut ne pas admettre d'inverse (comme en  algèbre linéaire...). L'inverse d'un opérateur, que nous notons , étant tel que (s'il existe):

  (42.46)

Remarques:

R1. Si un opérateur peut commuter n'importe comment avec un autre opérateur, c'est que ce dernier est un nombre (cela rejoint le concept de mesure dont nous avons fait mention dans les postulats).

R2. Lorsqu'un état (une fonction mathématique au sens formel) est inchangé par un opérateur, l'état est alors appelé "état propre" ou "vecteur propre" du système (nous verrons des exemples pratiques plus loin). L'état est alors parfaitement mesurable et est assimilé à l'observable classique.

Exemple (d'opérateur):

Partons de l'équation de Schrödinger tridimensionnelle (que nous démontrerons plus loin) à admettre pour l'instant :

  (42.47)

ou bien écrit autrement (c'est plus esthétique...) avec le laplacien :

  (42.48)

ou encore:

  (42.49)

autrement encore...:

  (42.50)

Alors l'opérateur énergie totale (l'hamiltonien H en d'autres termes...) s'exprime comme :

  (42.51)

ou en notation lagrangienne :

  (42.52)

Remarque: Nous retrouvons ici naturellement la deuxième expression donnée dans le deuxième postulat.

D'autre part, nous savons que :

  (42.53)

Les deux dernières expressions doivent être identiques. La seule possibilité pour satisfaire à ces égalités est de poser :

  (42.54)

qui sont les "opérateurs hermitiques de la quantité de mouvement" en mécanique quantique et dont il faudra se rappeler tout au long de notre étude!

Remarque: Nous retrouvons ici naturellement un des opérateurs cités dans le troisième postulat.

Nous pouvons vérifier la justesse de ces opérateurs en les réinjectant dans l'expression de l'énergie cinétique :

  (42.55)

Par ailleurs, il est aisé de vérifier que ce développement reste juste si nous prenons le conjugué complexe de l'opérateur de la quantité de mouvement. Ainsi, l'opérateur est bien hermitique puisque son conjugué complexe est égale à lui-même!

OPÉRATEURS ADJOINTS ET HERMITIQUES

Remarque: La lecture des lignes qui vont suivre pourrait s'avérer assez abstraite. Cependant, si vous ne comprenez pas grand chose ce n'est pas bien grave car souvent tout devient évident pendant l'étude et les développements d'exemples concrets qui seront donnés plus loin.

Considérons les deux intégrales étendues à tout l'espace (à l'intérieur de l'intégrale il s'agit d'une multiplication de fonctions et d'opérateurs) :

 et   (42.56)

Rappelons que la notation  est le conjugué complexe de z.

Définition: Il y a entre les opérateurs et une correspondance biunivoque, nous disons que  est "l'adjoint" de  (la transposée de la conjuguée) et nous écrivons :

  (42.57)

De cette définition, nous déduisons l'identité suivante :

  (42.58)

Remarque: Nous démontrerons, plus loin, la relation ci-dessus dans un exemple concret mais particulier de la physique quantique des champs (chapitre suivant) et nous y reviendrons de manière plus rigoureuse dans notre présentation du formalisme de Dirac dans le présent chapitre.

L'opérateur adjoint a les propriétés suivantes (ce sont les mêmes que pour la matrice adjointe vue dans le chapitre d'algèbre linéaire) :

P1. qui est inutile à démontrer car cette relation découle de la définition de l'opérateur adjoint et des propriétés des nombres complexes.

P2.  étant envisagé comme un nombre complexe (opérateur particulier) nous avons alors  (suffisamment évident pour que le lecteur puisse faire la vérification)

P3.  (suffisamment évident à vérifier si nous prenons le cas particulier où les deux opérateurs sont des nombres complexes)

P4.  (même remarque que précédemment)

Définition: Une catégorie extrêmement importante d'opérateurs est constituée par les "opérateurs hermitiques self-adjoints", égaux par définition à leurs adjoints:

  (42.59)

Ils jouent vis-à-vis des opérateurs en général, un rôle assez analogue à celui des nombres réels vis-à-vis des nombres complexes.

Remarque: Le terme "hermitique" ou "hermitien" sont équivalents et rappelez-vous que ces opérateurs peuvent être aussi des matrices!

Définition: En multipliant un opérateur hermitique par le nombre complexe i, nous obtenons un opérateur dit "anti-hermitique" (la dénomination est assez logique...).

Remarque: Le produit d'un opérateur hermitique par un nombre réel reste bien évidemment un opérateur hermitique.

Un opérateur quelconque, soit , peut se décomposer d'une façon unique en parties hermitique et anti-hermitique, c'est-à-dire que nous pouvons écrire:

  (42.60)

où  sont hermitiques.

Démonstration:

Si : 

  (42.61)

donc: 

  (42.62)

La somme de l'opérateur et de son adjoint est donc un opérateur hermitique.

En général, il est trivial que le produit de deux opérateurs hermitiques  n'est pas nécessairement un opérateur hermitique, car nous vérifions que la condition pour laquelle le produit de deux opérateurs hermitiques soit lui-même hermitique, est que les deux opérateurs "commutent" (voir ce qui suit).

COMMUTATEURS ET ANTI-COMMUTATEURS

Définitions:

D1. Le "commutateur" de deux opérateurs  et , s'écrit :

  (42.63)

D2. "L'anti-commutateur" de deux opérateurs  et , s'écrit :

  (42.64)

Remarques: 

R1. Comme le commutateur est beaucoup plus fréquent dans les développements que l'anti-commutateur, s'il n'y a pas de confusion possible, nous le noterons simplement .

R2. Des exemples concrets et triviaux de ces commutateurs dans le cadre de notre étude la physique quantique ondulatoire seront présentés dans le texte qui suit.

Citons quelques propriétés évidentes des commutateurs (car ce sont ceux que nous utiliserons le plus):

  (42.65)

où  sont des nombre quelconques (les démonstrations sont faites - au besoin - pendant le développement d'exemples pratiques).

Cherchons l'adjoint de :

  (42.66)

d'où un résultat très simple: 

  (42.67)

La relation suivante est très utile dans la pratique (trivial, mais comme d'habitude au besoin nous pouvons rajouter la démonstration):

  (42.68)

nous avons de même:

  (42.69)

Nous démontrerons plus loin dans un cas concret de la physique quantique, que si deux opérateurs ne commutent pas, alors il est impossible d'avoir un état ayant une valeur précise et unique pour les deux opérateurs à la fois (en physique quantique il existe une configuration d'expérience ou le premier opérateur représente la quantité de mouvement et le second la coordonnée spatiale). Ce résultat implique que les opérateurs sont souvent nommés des "observables".

Attardons nous un moment sur un exemple concret des commutateurs utiles en physique théorique (particulièrement en physique quantique ondulatoire donc...) et dont un des résultats est fondamental!

Nous avons démontré plus haut les relations:

  (42.70)

Considérons la relation (simple différentielle mathématique habituelle):

  (42.71)

Si nous divisons par  des deux côtés de l'égalité et qu'ensuite nous multiplions par , nous obtenons :

  (42.72)

ce qui nous donne:

  (42.73)

donc il vient que le commutateur de x et  est égal à et donc que les quantités ne commutent pas. Nous avons donc la "relations d'anti-commutation" suivante :

  (42.74)
(cycl.)

Ainsi (en nous basant sur le deuxième postulat), les deux observables x et   dont les opérateurs ne commutent pas ne possèdent une base de vecteurs propres commune. Ils ne sont donc pas simultanément mesurables avec précision et constituent donc une incertitude d'Heisenberg.

Remarques:

R1. L'abréviation (cycl.) signifiant que l'on peut permuter circulairement les lettres (x, y, z).

R2. Bien que ce résultat puisse paraître étonnant il n'en est pas moins extrêmement correct puisque découlant d'un raisonnement mathématique nous ne pouvons plus simple et rigoureux.

Considérons donc maintenant aussi la relation :

  (42.75)

et en procédant de la même manière que précédemment, nous obtenons :

  (42.76)
(cycl.)

Les deux relations :

 et   (42.77)

peuvent se résumer à:

  (42.78)

en utilisant les coordonnées et moments généralisés et sont remarquables sous plusieurs angles:

- Premièrement, parce qu'à partir de considérations purement théoriques et mathématiques nous retrouvons également en physique quantique une incertitude équivalente (mais pas égale!) à celle obtenue lors de notre étude des principes d'incertitudes de Heisenberg (qui rappelons-le avaient été obtenues à partir d'un cas pratique classique). 

Effectivement, si nous prenons le module du commutateur de gauche, nous avons alors la "relation d'incertitude spatiale de Heisenberg" :

  (42.79)

qui rappelons-le, peut également s'écrire sous la forme:

  (42.80)

La constante de Planck étant extrêmement petite, cela explique que cet effet est impossible à détecter à notre échelle macroscopique. Par contre, la masse des électrons étant  extrêmement petite aussi, la fraction ci-dessus devient notable pour un électron et l'effet de cette incertitude est important!

Enfin, par commutation des composantes du quadrivecteur impulsions (cf. chapitre de Relativité Restreinte), nous avons la "relation d'incertitude temporelle de Heisenberg" :

  (42.81)

Une conséquence fantastique découle de l'incertitude sur le temps et l'énergie et de la relativité. Imaginons-nous le vide le plus total (vide quantique) et supposons que nous regardions ce qui ce passe en un point de l'espace donné pendant un temps très court. Alors le principe d'incertitude temporelle nous dit que l'énergie de cet état (le vide!) est très imprécise. Or la relativité dit que l'énergie c'est aussi de la masse (et aussi un champ), donc des particules. Donc, pendant ce temps très court des particules peuvent apparaître spontanément du vide ! Nous les appelons des "particules virtuelles" car elles disparaissent très vite et sont engendrées par les "fluctuations quantiques du vide".

Cette variation est suffisamment faible pour que nous puissions la mesurer aujourd'hui avec nos instruments. Cependant, nous en observons les effets seulement dans les grands collisionneurs de particules de la planète.

Deuxièmement, ces relations sont remarquables parce que l'incertitude est une valeur complexe. Ce qui amène à considérer que le corps des complexes est inhérente à la structure réaliste de notre environnement (espace-temps) au niveau du monde quantique. Le monde quantique est donc un monde d'incertitude complexe. Et cette probabilité ne semble pas être une conséquence de notre imprécision ou de notre ignorance mais semble bien être une propriété intrinsèque de la nature.

Remarque: Ces deux relations nous seront indispensables pour développer la théorie quantifiée du moment cinétique et du spin.

INTERPRÉTATION DE COPENHAGUE

Avant de poursuivre, il faut insister sur cette interprétation car ainsi que nous allons le constater avec d'autres expériences, elle soulève bien des critiques tant de la part des chercheurs que des philosophes.

En 1930, l'interprétation probabiliste de l'amplitude de l'onde d'une particule et le principe d'incertitude d'Heisenberg constituent les éléments de l'interprétation "standard " non déterministe de la mécanique quantique comme nous en avons déjà fait mention au début de ce chapitre. Cette interprétation est souvent appelée "interprétation de Copenhague", car Niels Bohr qui y contribua largement y dirigeait un institut de physique renommé à cette époque. Pourtant de nombreux physiciens tels Einstein et Schrödinger, qui acceptaient la formulation mathématique de la mécanique quantique, n'étaient pas à l'aise avec l'interprétation de Copenhague et la critiquaient. Et jusqu'à nos jours, la question de l'interprétation correcte de la formulation mathématique reste un problème.

En effet, nous pouvons nous poser la question suivante : Où se trouve la réalité? Y-a-t-il une réalité? Niels Bohr répond non : il n'y a rien au niveau quantiqu, la réalité n'existe ou n'apparaît que lors d'une mesure. Cette vision partagée par la plupart des physiciens (interprétation de Copenhague), implique que la mesure "crée" la position de l'électron (voir le sous-chapitre traitant du principe de superposition linéaire des états)

Einstein pensait que la mécanique quantique, bien que très efficace et très impressionnante, n'est pas complète et ne donne qu'une image imparfaite du monde quantique. Pour lui, il y aurait autre chose, au-delà, qui clarifierait et affinerait notre présente vision.

Ainsi, dans l'interprétation de Copenhague de la mécanique quantique le principe d'incertitude signifie qu'à un niveau élémentaire, l'univers physique n'existe plus de manière déterministe, mais plutôt comme une série de probabilités ou de potentiels. Par exemple le motif produit par des millions de photons passant à travers une fente de diffraction peut être calculé à l'aide de la mécanique quantique, mais le chemin de chaque photon ne peut être prédit par aucune méthode connue. L'interprétation de Copenhague dit qu'il ne pourra être calculé par aucune méthode. C'est cette interprétation qu'Einstein mettait en doute lorsqu'il disait : "je ne peux pas croire que Dieu joue aux dés avec l'Univers". D'un point de vue physique autant que philosophique, le principe d'incertitude implique la réfutation du déterminisme universel défendu par Laplace au début du 19ème siècle.

Une réduction instantanée des états se produit dès l’observation du système. Cette décision aléatoire de l'état observé respecte les probabilités, correspondant au carré des amplitudes des états. De surcroît, l'interprétation de Copenhague stipule que lors d’une mesure, un processus de réduction, originaire de l'objet macroscopique, élimine les superpositions d’états quantiques.

L'interprétation de l'école de Copenhague conduit donc au problème de la mesure, l'expérience de pensée du chat de Schrödinger stipulant que lorsqu'on mesure une quantité, telle que la position ou l’impulsion, nous intervenons dans le processus de mesure en provoquant un changement radical de l’état quantique, de la fonction d’onde. Nous modifions les quantités mesurées de façon imprévisibles et cet état ne peut être décrit par l'équation déterminée de Schrödinger. Les physiciens et les philosophes ont réagit de plusieurs manières à cette interprétation :

- Soit nous considérons comme Bohr et Heisenberg que ce principe fait loi et qu'il est préférable de ne pas rechercher l’interprétation ultime. C'est une attitude qui est admise par la plupart des physiciens.

- Soit nous considérons que la physique quantique est une théorie incomplète et certains, tel Einstein, Eugene Wigner ou David Bohm n'ont pas hésité à rechercher d'autres solutions, stériles jusqu’à présent.

- Enfin, Hugh Everett III et bien d'autres prennent l'équation de Schrödinger très au sérieux, la considérant comme une représentation de la réalité. Ils considèrent que l'interprétation de l'école de Copenhague représente réellement l'évolution de la fonction d'onde. Les différents termes de l'équation correspondraient aux différents niveaux d'énergie dans lesquels se trouve le système. La réduction du paquet d'ondes s’interpréterait comme une division totale de l'objet et de l'instrument de mesure dans des univers parallèles.

Aujourd'hui le débat reste ouvert mais plusieurs expériences réalisées depuis les années 1930 nous permettent, pas à pas, de dissiper l’épais brouillard qui recouvre le fond de la réalité et de répondre à quelques questions. Cela dit, toutes ces expériences confirment néanmoins que l’époque des certitudes est bien révolue.

DIMENSIONS DE PLANCK

Il convient de nous attarder un moment sur la constante de Planck (car beaucoup d'ouvrages font mention de ce que nous allons voir sans les précautions de rigueur). Nous venons de voir que la mesure des objets dépend du principe d'indétermination de Heisenberg. Cette précision joue tant sur les mesures du temps que sur la trajectoire des particules ou la densité d'énergie de l'Univers. Voyons que cela à par extension d'autres implications.

Nous avons démontré précédemment qu'une des relations d'incertitudes est donnée, en prenant le module, par (de l'ordre de la constante de Planck donc à un facteur près) :

  (42.82)

Grossièrement, nous pouvons donc dire qu'à une fluctuation de l'espace (à ne pas confondre avec la notation de la longueur d'onde), nous pouvons associer la quantité de mouvement :

  (42.83)

À celle-ci correspond, d'après nos résultats du chapitre de Relativité Restreinte, la relation l'énergie , ou la masse équivalente (en divisant par ) p/c. En désignant par M cette masse associée à la perturbation , nous avons donc :

  (42.84)

La gravitation due à cette masse est caractérisée par une longueur R que nous déterminerons en ordre de grandeur en écrivant que l'énergie potentielle qui lui est associée (cela suppose que la gravitation classique et quantique sont régies par les mêmes lois...), (cf. chapitre de Mécanique Classique), est égale à la masse-énergie . Cela donne:

  (42.85)

ou, en remplaçant M par son expression précédente :

  (42.86)

Pour qu'il n'y ait pas auto-amplification (et donc divergence) du phénomène de fluctuation quantique du vide, nous devons avoir de préférence . En écrivant l'égalité entre ces deux grandeurs, nous aboutissons donc à une quantité qui représente la dimension minimale (en ordre de grandeur) que puisse concevoir la physique. C'est la fameuse "longueur de Planck" :

  (42.87)

pour laquelle il correspond la période ou "temps de Planck" d'où :

  (42.88)

Nous pouvons maintenant revenir à une autre expression plus intéressante de la masse fluctuante. Puisque :

et   (42.89)

nous avons dès lors la "masse de Planck" :

  (42.90)

L'analyse dimensionnelle nous donne à une constante près et selon le théorème du Viriel (cf. chapitre de Mécanique Des Milieux Continus):

  (42.91)

et donc :

  (42.92)

d'où la "température de Planck" :

  (42.93)

et encore "l'énergie de Planck" :

  (42.94)

Après tout cela, nous obtenons facilement la "densité de Planck" :

  (42.95)

Nous pouvons nous amuser à obtenir encore d'autres valeurs de Planck encore mais qui ne veulent plus dire grand chose à force (et nous pourrions continuer ainsi longtemps avec énormément d'autres grandeurs) :

La "force de Planck" :

  (42.96)

La "puissance de Planck" :

  (42.97)

La "pulsation de Planck" :

  (42.98)

En procédant avec le même raisonnement initial fait avec la masse mais en utilisant l'énergie potentielle électrostatique au lieu de l'énergie potentielle gravitationnelle nous pouvons obtenir la "charge de Planck" :

  (42.99)

Dès lors nous pouvons calculer un "courant de Planck" :

  (42.100)

ainsi que la "tension de Planck" :

  (42.101)

et "l'impédance de Planck" (…) :

  (42.102)

Remarque: Certains physiciens se sont servis (et se servent toujours) des résultats ci-dessus pour des raisonnements farfelus et dangereux qui ne sont que interprétation. Il convient donc de prendre avec des pincettes toutes les informations relatives aux dimensions de Planck que vous pourriez trouver (même si celles-ci sont fort semble sympathiques). L'exemple le plus connu est donné par la longueur d'onde de Compton (cf. chapitre de Physique Nucléaire) qui dépend de la masse-énergie du photon. Si cette longueur d'onde est égale au rayon de Schwarzschild classique pour la même masse-énergie (cf. chapitre d'Astrophysique), alors dans ce cas sa valeur est celle de la longueur de Planck et sa masse est égale à la masse de Planck. Il est alors tentant de dire que la particule forme alors un trou noir. Mais il s'agit d'une analogie car dans ce cas, rien ne nous dit que l'expression du rayon de Schwarzschild s'applique à la physique quantique...

REPRÉSENTATIVES

Introduisons maintenant les notations quantiques contemporaines, que nous considérons pour l'instant comme des abréviations d'intégrales portant sur des fonctions d'ondes, nous écrirons (dans le but futur de calculer des densités de probabilités) :

  (42.103)

Avec cette notation, la relation que nous avions présentée lors de notre étude des opérateurs :

  (42.104)

devient (c'est plus léger déjà...) :

  (42.105)

Cela dit