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PHYSIQUE QUANTIQUE DES CHAMPS | PHYSIQUE DES PARTICULES ÉLÉMENTAIRES

LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

L'ARME NUCLÉAIRE

Sans souhaiter faire d'amalgame, nous considérons qu'il est indispensable, à l'époque ou l'arme nucléaire sert de moyen de dissuasion et donc d'élément de stabilité planétaire, à la culture générale de l'ingénieur de connaître certaines propriétés élémentaires de la bombe atomique à fission. Nous allons donc exceptionnellement dans ce petit sous-chapitre sans mathématiques (celles de l'arme nucléaire et des centrales nucléaires seront vus lors de notre étude de la neutronique à la fin de celui-ci) parler un petit peu de cette arme de destruction massive qui fascine souvent les étudiants des les aulas de cours.

Certes, nous étudierons plus tard théoriquement, comment provoquer une réaction en chaîne divergente dans un volume donné. Cependant, il ne faudra évidemment pas s'attendre à acquérir les connaissances nécessaires à la fabrication d'une telle arme puisque cela ne fait pas appel uniquement à des connaissances de la physique, mais également à de l'électronique, mécanique, chimie, mathématiques, etc.

S'agissant d'une explosion, l'usage s'est immédiatement introduit de comparer l'énergie d'une arme nucléaire à celle d'un explosif courant: le Trinitrotoluène (T.N.T). Ce T.N.T fournit 4'200'000 Joules par Kilo, mais les énergies des armes nucléaires sont telles qu'il est plus parlant de les évaluer en milliers de tonnes - ou kilotonnes de T.N.T (ultérieurement les armes thermonucléaires représentèrent un nouveau bond dans les énergies explosives: l'unité pratique de comparaison est le million de tonnes - Mégatonne de T.N.T).

La fission de 56 grammes d'Uranium 235 ou de Plutonium 239 donne l'équivalent de 1 Kilo-tonne avec la fission de  atomes (ce n'est même pas une valeur entière du nombre d'Avogadro!!).

La première explosion nucléaire expérimentale, à Alamogordo le 16 juillet 1945 - fut évaluée à 20 Kt, avec une bonne précision car il avait été possible de mettre en place de multiples dispositifs de mesure.

Celles du 6 août, sur Hiroshima (à Uranium 235) puis du 9 août sur Nagasaki (au Plutonium 239) furent d'abord estimées aussi à 20 Kt. Ultérieurement, et par étude fine sur les effets de souffle, leurs énergies furent respectivement ramenées à environ 17 et respectivement 15 Kt. Cela n'en représentait pas moins l'équivalent d'un chargement en T.N.T. d'un convoi de l'ordre de 6000 camions de l'US Army.

Voici un schéma à la fois intéressant et persuasif des effets d'une bombe atomique (pour information à partir d'une vitesse de 220 [km/h] un être humain moyen est soulevé du sol) :

  (44.1) Source: Pour la Science

Donc en d'autres termes voici en résumé et en approximations les effets d'une arme à fission de 1 Mt explosant à 2'450 mètres d'altitude (tout en sachant qu'aujourd'hui les américains et les russes ont des armes nucléaires à fusion dont la puissance de feu dépasse les 50 Mégatonnes...):

Jusqu'à 1.3 [km], tout est rasé, même les bâtiments en béton armé. Jusqu'à 4.8 [km], la plupart des usines et des bâtiments commerciaux sont détruits; les habitations faites de briques et de bois sont anéanties, et leurs débris éparpillés. Jusqu'à 7 [km], les ensembles commerciaux de structure légère et les résidences privées sont démolis. Les constructions plus lourdes sont sérieusement endommagées. Jusqu'à 9.5 [km], les murs des bâtiments légers sont renversés, les résidences privées gravement détériorées. Le souffle (ou surpression) est encore assez puissant pour tuer les personnes qui se trouvent à l'extérieur (explosion des poumons). Jusqu'à 18.6 [km], différents édifices sont endommagés, les rues sont jonchées de débris de vitres et de tuiles. 10 à 20 minutes après la déflagration, les débris aspirés dans la dépression de la tige du champignon atomique, retombent au sol. Suivent 1 à 2 heures après, les débris se situant dans le champignon (sa tête).

La plupart des effets représentés sur le schéma ne sont pas proportionnels à l'énergie. Il n'y a donc pas lieu de faire une simple multiplication pour une arme de 30'000 mégatonnes!

Remarque: Pour un petit calcul sympathique sur les bombes nucléaires utilisant l'analyse dimensionnelle le lecteur pourra se référer au chapitre des Principes de la mécanique où nous donnons l'expression de l'énergie d'une bombe en fonction du rayon de sa boule de feu.

RADIOACTIVITÉ

Lorsque nous analysons expérimentalement la radioactivité, nous nous apercevons d'abord que le noyau n'émet pas ses constituants. Ensuite, nous découvrons de nouvelles forces, qui luttent et dominent  à tour de rôle. Enfin, de nouvelles particules de matière, et même d'antimatière apparaissent. Le décryptage de ces énigmes a fourni une image cohérente du monde infiniment petit dont la radioactivité a révélé l'existence, un monde où les lois physiques échappent à une intuition issue de la pratique quotidienne de notre monde macroscopique.

D'emblée, la radioactivité a surpris : dès 1900, on savait que les rayonnements émis par l'Uranium et ses descendants avaient trois composantes, baptisées : "alpha" , "bêta" et "gamma"  séparables par l'actions d'un champ magnétique comme indiqué symboliquement dans l'image ci-dessous :

  (44.2) Source: Pour la Science

Plus tard, on montra que la radioactivité alpha était l'émission de noyaux d'hélium, la radioactivité bêta l'émission de photons. De ces observations, il était logique de déduire que le noyau était constitué de ces trois types de particules, ce qui n'est pas le cas : les constituants du noyau n'ayant été découvert par J. Chadwick qu'en 1932.

Alors, pourquoi les noyaux radioactifs n'émettent-ils pas des protons ou des neutrons? Comment les noyaux éjectent-ils autre chose que leurs constituants? Ces questions doivent être précédées d'une autre, sans doute plus fondamentale pourquoi certains noyaux sont-ils radioactifs? La réponse est la même pour tous les phénomènes physiques spontanés. La pomme tombant de l'arbre, par exemple : c'est parce que le système peut rejoindre un état plus stable en perdant de l'énergie potentielle, l'excédant d'énergie s'échappant sous forme d'énergie cinétique, c'est-à-dire sous la forme de mouvement.

Cette raison explique aussi pourquoi les isotopes n'émettent pas de protons ou neutrons seuls car souvent au niveau de la structure quantique du noyau il est plus favorable au niveau énergétique d'émettre un petit noyau ou de changer un neutron en neutron (l'étude quantique du noyau dépasse le cadre mathématique des sujets traités sur ce site web).

Avant de continuer dans la description détaillée de ces phénomènes, donnons quelques définitions:

D1. Tout élément chimique (cf. section de chimie) est caractérisé par son nombre de protons Z appelé "nombre atomique".

D2. Le "nombre de masse" A est par définition le nombre de proton Z sommé du nombre de neutrons N de l'élément chimique donné. Ainsi, ce dernier se trouve entièrement caractérisé si nous connaissons son nom ou son nombre atomique Z et son nombre de neutron N ou son nombre de masse. Nous notons usuellement n'importe quel élément sous la forme:

  (44.3)

Les éléments chimiques d'une même espèce (même Z) peuvent avoir différents nombres de neutron N, c'est-à-dire différents nombres de masse A, nous parlons alors "d'isotopes" ou de "nucléides". Evidemment, l'énergie nucléaire (du noyau) associée à un même élément chimique diffère selon le nombre de masse et il existe nous le verrons un nombre A pour lequel l'énergie est minimale. Les isotopes pour lesquels l'énergie n'est pas minimum pourront, pour certains d'entre eux et de façon spontanée, libérer l'excès d'énergie en se désintégrant.

D3. La propriété qu'ont certains atomes de modifier spontanément la structure de leurs noyaux pour atteindre un niveau d'énergie inférieur, plus fondamental, est appelé "radioactivité". Nous parlons alors de "radio-isotopes" pour les atomes concérnés.

Les propriétés chimiques d'un atome dépendent (cf. section de chimie) du nombre et la disposition des électrons dans son nuage. Ainsi tous les isotopes d'un même élément chimique ont les mêmes propriétés chimiques (c'est cette caractéristique chimique qui à la base de la médecine nucléaire). Ce sont en quelque sorte des atomes "frères". Cependant, la légère différence de masse de leur noyau fait que leurs propriétés physiques se différencient quelque peu.

D4. Enfin, les "isotones" sont les isotopes de différents éléments chimiques (différent Z) ayant le même nombre de neutron N.

La petitesse des atomes pose un problème évident de mesure de masse. C'est pourquoi il a été préféré par les physiciens et les chimistes de mettre en place un système de masse atomique qui est un système de nombres proportionnels à la masse réelle des atomes.

Comme il y a une infinité de systèmes de nombres, un a été choisi judicieusement comme référence et c'est le chiffre 12 pour l'isotope 12 du Carbone:

    (44.4)

où "uma" est l'abréviation de "unités de masse atomique".

Ceci a pour conséquence intéressante de conférer au proton et au neutron des masses atomiques très voisines de l'unité.

Nous pouvons donc relier le système S.I. (cf. chapitre Principes) avec le système des unités de masse atomique (uma).

D5. "L'unité de masse atomique" est par définition la masse du 1/12 de l'atome de Carbone , nous avons (la masse des électrons est négligée car très faible par rapport à celle des nucléons):

  (44.5)

Donc la masse du proton en uma vaut:

  (44.6)

Attention, cependant la masse molaire d'un isotope différent que le  ne peut pas être calculée par addition des masses des nucléons (protons et neutrons) qui compose son noyau car il faut tenir compte du défaut de masse (notion que nous verrons plus loin).

Les masses peuvent être aussi exprimées en unités d'énergie puisqu'il y a équivalence masse-énergie comme nous l'avons vu en relativité restreinte d'après la relation   (cf. chapitre de Relativité Restreinte). L'unité d'énergie en physique nucléaire souvent utilisée est "l'électronvolt".

D6. Un "électronvolt" noté [eV] est l'énergie acquise par une charge élémentaire soumise à une différence de potentiel de 1 [V].

Ainsi, d'après la relation entre l'énergie et le potentiel électrostatique  (cf. chapitre d'Électrostatique), nous avons : 

  (44.7)

Nous en tirons puisque la vitesse de la lumière dans le vide vaut :

  (44.8)

DÉSINTÉGRATION

Certains noyaux possèdent donc la propriété de modifier spontanément leur structure interne pour atteindre un niveau d'énergie plus fondamental. Cette transformation s'accompagne de l'émission de particules et/ou de rayonnements électromagnétiques. Le noyau résiduel peut être lui aussi radioactif et subir d'autres transformations par la suite ou être stable.

La désintégration radioactive d'un isotope est un phénomène aléatoire et nous ne pouvons jamais dire à quel moment un noyau va se désintégrer (probabilité sans effet de mémoire).

Remarque: Pour la démonstration de cette affirmation, le lecteur peut se reporter au chapitre de Techniques De Gestion dans la partie traitant de la théorie des files d'attentes et en particulier la modélisation des arrivées. Effectivement, le développement est tout point identique mais seulement l'objet d'étude change (ce ne sont alors plus des appels téléphoniques mais des désintégrations). Ainsi, on y démontre que sous certaines hypothèses le phénomène suit une loi de Poisson et nous y démontrons que celle-ci n'a pas de mémoire.

Nous ne pouvons donner que la probabilité de désintégration par unité de temps. Cette probabilité est donnée par la "constante radioactive" et a pour unité l'inverse du temps tel que . Cette constante peut être calculée comme nous l'avons déjà vu lors de l'étude de l'effet tunnel en physique quantique ondulatoire. 

La constante radioactive varie pour tous les isotopes connus:

  (44.9)

Soit N(t) le stock d'atomes d'un isotope radioactif au temps t. Le nombre d'atomes se désintégrant durant le temps infinitésimal dt est donc égal à :

    (44.10)

conduisant à une diminution du stock égale à :

  (44.11)

L'équation différentielle (cf. chapitre de Calcul Intégral Et Différentiel) s'écrit donc:

  (44.12)

ou :

  (44.13)

qui a pour solution très simple (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

  (44.14)

avec  le stock de noyaux au temps .

Remarque: N(t) ne représente pas le nombre d'atomes restant au temps t mais le nombre le plus probable d'atomes radioactifs restant au temps t!!

Dans la pratique, la mesure de la constante radioactive se fait à l'aide de la décroissance de l'activité (voir plus loin) de l'isotope intéressé.

DEMI-VIE D'ISOTOPE

Définition: La "période radioactive" ou de "demi-vie"  d'un isotope est le temps moyen qu'il faut attendre pour que 50% du stock de noyaux radioactifs d'un isotope donné soit désintégré:

  (44.15)

Nous avons ainsi une relation très important entre la période de demi-vie et la constante radioactive!

Si le radio-isotope a le choix de se désintégrer selon deux voies de désintégration distinctes caractérisées de deux périodes radioactives distinctes  et , la demi-vie de ce nucléide est définie par la moyenne:

  (44.16)

et nous calculons le nombre de nucléides restant par la relation :

  (44.17)

ACTIVITÉ RADIOACTIVE

Définition: L'activité A d'une source radioactive est le nombre de désintégrations par unité de temps.

Remarque: Son unité de mesure est le "Becquerel" est est noté  . 1 Becquerel correspondant donc à une désintégration par seconde.

L'ancienne unité de mesure de la radioactivité était le "Curie" [Ci] . Le Curie avait été défini dans un premier temps comme l'activité d'environ un gramme de radium, élément naturel que nous retrouvons dans les sols avec l'Uranium. Cette unité est beaucoup plus grande que la précédente car par définition 1 [Ci] correspond à 37 milliards de désintégrations par seconde:

  (44.18)

L'activité s'obtient par la dérivation temporelle du stock d'atomes d'un échantillon donné:

  (44.19)

La relation dite "équation d'activité" :

  (44.20)

montre ainsi que l'activité d'un nombre donné d'atomes N d'un isotope radioactif est proportionnelle à ce nombre et inversement proportionnelle à la demi-vie de l'isotope (de par la relation vue plus haute entre la constante radioactive et la période de demi-vie).

Exemple: 

Un gramme de  contient :

  (44.21)

donc l'activité de ce gramme vaut connaissant :

  (44.22)

Par le même raisonnement, mous montrons que l'activité au cours du temps suit la même loi exponentielle que la diminution du nombre de nucléides:

  (44.23)

avec :

  (44.24)

Expérimentalement pour déterminer la période de demi-vie d'un isotope radioactif nous procédons de la manière suivante :

1. Nous choisissons un échantillon pur d'un isotope dont nous souhaitons déterminer la période de demi-vie.

2. Au temps  nous mesurons à l'aide d'un détecteur pendant un intervalle de temps  fixé le nombre de désintégrations. Nous avons alors le nombre de désintégrations pendant un intervalle de temps en début d'expérience (l'unité de la mesure est alors les désintégrations et non pas le nombre de désintégrations par seconde).

3. Ensuite, pendant chaque  consécutif (l'intervalle de temps est fixé) nous mesurons le nombre de désintégrations pendant cet intervalle de temps. Cela nous donne donc une série des mesures du nombre de désintégrations observées pour  

4. A l'ensemble des mesures de désintégrations effectuées, nous enlevons le bruit de fond du laboratoire

Puisque :

  (44.25)

En prenant le logarithme népérien nous avons :

  (44.26)

Soit :

  (44.27)

Il s'agit donc de l'équation d'une droite de pente  et d'ordonnée à l'origine . Ainsi, la constante radioactive est immédiatement mesurée et l'on en déduit rapidement la période de demi-vie à l'aide de la relation démontrée plus haut :

  (44.28)

DATATION AU CARBONE 14

Certains éléments radioactifs naturels constituent de véritables chronomètres pour remonter dans le temps. Des méthodes de datation ont été mises au point, fondées sur la décroissance progressive de la radioactivité contenue dans les objets ou vestiges étudiés. On peut ainsi remonter jusqu'à des dizaines de milliers d'années dans le passé avec le carbone 1, voire bien d'avantage avec d'autres méthodes telles que la thermoluminescence ou la méthode uranium-thorium. La datation au carbone 14 permet d'aborder l'étude de l'histoire de l'homme et de son environnement pendant la période de 5'000 à 50'000 ans à partir du temps présent.

Le carbone naturel est composé de deux isotopes stables: le  (98.892%) et  (1.108). Il n'existe donc pas de  dans le carbone naturel. Ce dernier est produit en haute atmosphère par l'action de neutrons cosmiques sur le . Nous parlons alors de "capture neutronique" (voir plus loin) ou "activation ". Ainsi, continûment du  est produit en haute atmosphère et se désintègre naturellement avec une période de 5'700 ans. Nous nous imaginons aisément  que la concentration en  s'équilibre lorsque le taux de production est égal au taux de disparition suite au processus de désintégration radioactif (sinon quoi il n'y aurait plus que du partout).

Il se forme environ 2.5 atomes de  par seconde et par  de surface Terrestre (ce chiffre est cependant dépendant de beaucoup de facteurs mais en amplitude négligeable sur le très long terme. Vous pouvez trouver des ouvrages entiers traitant du sujet), la contribution positive au nombre d'atome de  vaut:

  (44.29)

R étant le rayon de la Terre.

Ou encore en débit de masse cela représente:

  (44.30)

Le taux de disparition est égal au taux de production radioactif, c'est-à-dire:

 car   (44.31)

Comme le taux de disparition vaut:

  (44.32)

Nous en déduisons qu'il y a  atomes de  en permanence dans l'atmosphère, soit environ 77.8 tonnes.

Ce radio-isotope se retrouve sous la forme chimique  et pénètre par photosynthèse et métabolisme dans le règne végétal et animal. A la mort de la plante ou de l'animal, la teneur en  reste figée et commence à décroître par désintégration radioactive au cours des âges.

  (44.33)

La datation n'est donc qu'une simple comparaison entre la concentration en  de la matière vivante et de la matière morte. De fait, on détermine les activités spécifiques

  (44.34)

Les archéologues peuvent ainsi aisément dater ce qu'ils veulent.

FILIATION RADIOACTIVE

Définition: Une filiation radioactive est par définition la stabilisation d'un noyau appelé "noyau mère" en une succession de désintégrations. Chaque étape est caractérisée par un état intermédiaire correspondant à un radionucléide appelé "nucléide fille" de l'élément mère. Nous avons :

  (44.35)

où * désigne un isotope radioactif donné, l'isotope stable de la filiation radioactive de l'élément mère .

Exemple:

Considérons le problème à 2 corps  (nous ne nous intéresserons pas aux cas supérieurs excepté sur demande)

Supposons qu'à l'origine des temps, le premier descendant n'existe qu'en quantité négligeable:

Conditions Initiales (C.I.) à :

  (44.36)

La variation de l'élément mère (1) n'est donnée que par une contribution négative, la désintégration de 1. 

Nous avons:

  (44.37)

avec pour solution tenant compte des conditions initiales :

  (44.38)

La variation de l'élément descendant (2), c'est-à-dire la fille de 1, est donnée par une contribution positive (les atomes de 1 désintégrés) et une négative, la désintégration de 2. On a:

  (44.39)

il faut donc résoudre cette équation différentielle.

Nous avons comme solution homogène (équation caractéristique ECAR):

  (44.40)

Nous tirons la solution de l'équation homogène comme:

    (44.41)

avec la lettre h pour signifier qu'il s'agit de la solution homogène.

Déterminons maintenant la solution particulière de:

  (44.42)

La démarche consiste à poser que  avec la lettre p pour particulière.

En substituant nous trouvons :

  (44.43)

Car si nous avions  nous aurions une égalité nulle ce qui est absurde et nous avons dès lors: 

  (44.44)

d'où nous tirons que :

  (44.45)

Finalement la solution générale est la somme de la solution homogène et de la particulière, ainsi:

  (44.46)

Appliquons les conditions initiales: 

  (44.47)

Finalement nous avons :

  (44.48)

Nous laisserons le soin au lecteur de tracer les graphiques de:

 et   (44.49)

pour voir l'allure que cela à s'il en ressent le besoin.

étant nul pour  et pour , obligatoirement il passe, comme l'activité , par un maximum. Soit  le temps ou le maximum est observé, nous avons:

  (44.50)

d'où:

  (44.51)

La connaissance de  est importante en particulier en médecine nucléaire où nous désirons administrer le produit 1 à des fins radiodiagnostics et minimiser les effets néfastes du/des produit(s) fille(s) de 1. Nous choisissons alors des produits tel que le temps  soit supérieur au temps d'élimination biologique (voies d'élimination naturelle de l'organisme) de sa fille.

Nous ne traiterons pas ici de "l'équilibre séculaire" à part si il y a une de la part des lecteurs.

PHÉNOMÈNES RADIOACTIFS

Lorsque nous "pesons" un noyau, nous remarquons que sa masse est inférieure à la somme des masses de ses constituants. Cette différence est appelée le "défaut de masse" et est bien déterminé théoriquement (il ne s'agit plus d'une constatation expérimentale).

Le défaut de masse vaut:

  (44.52)

avec  étant la masse du noyau dans son état fondamental,  la masse du proton et  la masse du proton.

La masse d'un ensemble de nucléons liés est inférieure à la somme des masses des nucléons isolés (suffisamment éloignés en tout cas pour ne pas interagir). Nous tirons de la relativité restreinte que:

  (44.53)

où  est l'énergie de liaisons des nucléons composant le noyau (>0).

 est donc positif pour tous les éléments. Si tel n'était pas le cas, les nucléons n'auraient aucune raison de se mettre ensembles afin de former les noyaux.

Soit  l'énergie moyenne par nucléon d'un atome donné. Nous avons :

  (44.54)

Remarquons que la masse du noyau est reliée à la masse de l'atome par:

  (44.55)

De même, la masse du noyau plus la masse de ses électrons isolés est supérieure à celle du noyau entouré de son cortège électronique. Notons que l'énergie de liaison électronique peut être souvent négligée à celle d'origine nucléaire.

Cette énergie dégagée lors de la fusion, c'est-à-dire lors de la constitution de l'atome à partir de ses constituants, s'appelle aussi "énergie de liaison" car c'est elle qu'il faut fournir si nous voulons, en sens inverse, séparer les éléments.

L'expression générale pratique de l'énergie moyenne exprimée en unités de masse atomique est:

  (44.56)

Les principes de production d'énergie nucléaire de la fission ou de la fusion résultent de la forme de l'énergie moyenne par nucléon en fonction de A.

Des phénomènes de radioactivité nous en distinguons 8 dont certains sont qualifiés de "secondaires" car n'étant que les effets secondaires possibles des 6 premiers. Certains de ces phénomènes sont provoqués par l'homme, d'autres sont naturels et certains inconnus.

Voici un diagramme représentant en-haut la "vallée de stabilité" des atomes et isotopes et en bas la même vallée mais mettant en évidence le type de désintégration :

  (44.57)

Voyons donc les types de désintégration ou modifications de la structure de l'atome/noyau qui sont possibles dans les détails :

FUSION NUCLÉAIRE (1)

Si nous assemblons deux noyaux légers  et   pour former un atome "lourd" , nous augmentons la défaut de masse puisque l'énergie moyenne par nucléons augmente. En effet:

- l'énergie de X vaut:

- l'énergie de Y vaut:

- l'énergie de Z vaut:

Comme  alors :

  (44.58)

La fusion nucléaire est quasi exclusivement provoquée par l'homme (sur Terre en tout cas...). La probabilité d'observer une fusion nucléaire naturelle dans des conditions normale de température de pression est tellement faible qu'il est inutile d'en parler.

FISSION NUCLÉAIRE (2)

De même, si nous cassons avec des moyens adéquats (souvent avec des neutrons car pour s'approcher du noyau et vaincre sa répulsion électrostatique c'est le moyen adéquat... c'est celui qu'utilisent les centrales nucléaires et les bombes nucléaires) un atome  lourd en deux atomes légers  et   nous augmentons aussi le défaut de masse et l'énergie gagnée vaut:

  (44.59)

Que ce soit dans le cas de la fission ou de la fusion, l'énergie dégagée se répartit alors en énergie cinétique des produits de fission, des neutrons émis et enfin des divers rayonnements.

Remarque: Un atome est dit "fissible" quand il faut des neutrons rapides pour produire la fission et "fissile" quand il suffit d'avoir des neutrons lents pour la fission (ce qui est plus rare).

L'énergie nucléaire est de loin une forme d'énergie beaucoup plus concentrée, puisque 1 kilogramme d'uranium naturel fournit une quantité de chaleur de 100'000 [kWh] dans une centrale électrique courante, alors que 1 kilogramme de charbon fournit en brûlant 8 [kWh]. C'est pourquoi on ne manipule que d'assez faibles masses de combustible  nucléaire pour la production d'électricité: une centrale électronucléaire d'une puisse de 1000 [MW] électriques consomme par an 27 tonnes d'uranium enrichi, le quart de son chargement, alors qu'une centrale thermique de même puissance consomme par an 1'500'000 tonnes de pétrole. Pour comparaison dans le soleil, 1 kilogramme d'hydrogène produit, par réactions nucléaires le transformant en hélium, 180 millions de kWh! Mais attention, industriellement nous ne savons extraire qu'une faible part de l'énergie nucléaire emmagasinée dans la matière. Sur les 27 tonnes d'uranium enrichi consommé en une année par une centrale, seule une petite quantité de noyau a été réellement consommé (d'où la nécessité économique de retraiter l'uranium après utilisation).

Nous nous rendons vite compte que le pouvoir calorifique de la fission est gigantesque par rapport à celui des énergies fossiles. Une estimation donne un rapport d'énergie dégagée par atome de 50'000 millions !!!

Nous trouvons pour information en Suisse, rien que 5 centrales nucléaires (au début du 21ème siècle) pour une population de ~6 millions d'habitants (figure ci-dessous):

  (44.60)

Dans le cas de la fission spontanée (ou naturelle) nous avons émission de deux produits de fission et de w neutrons

Notation: 

   (44.61)

Exemple:

)   (44.62)

DÉSINTEGRATION ALPHA (3)

Définition: Lorsqu'un noyau lourd contient trop de protons et de neutrons (comme l’Uranium 238 par exemple), il va vider son trop-plein de nucléons en émettant une particule alpha (noyau d’hélium composé de 2 protons et deux neutrons) et le système final qui sera un nouveau noyau aura une masse plus faible et éventuellement stable. Ce mode de désintégration est la "radioactivité alpha".

La probabilité de désintégration est gouvernée par le mécanisme de barrière de pénétration (effet Tunnel) comme nous allons le démontrer un peu plus loin après la petite introduction.

La décroissance radioactive selon la radioactivité alpha, peut être schématisée comme:

 où     (44.63)

Exemple :

)   (44.64)

L'énergie dégagée lors de la transmutation se calcule au moyen du défaut de masse:

  (44.65)

avec étant la masse du noyau initial,  la masse du noyau final et  la masse du noyau d'Hélium.

en négligeant l'énergie de liaison des électrons nous avons :

 et  et   (44.66)

Finalement :

  (44.67)

Cette expression montre que l'énergie des particules  est bien définie pour des noyaux initiaux et finaux donnés. De fait, nous observons en réalité un spectre énergétique discret. Nous en concluons que ces émissions mènent le noyau à des niveaux d'énergies intermédiaires correspondantes à des états excités du noyau final. Nous pouvons expliquer ces observations par une structure nucléaire en couches. La désexcitation de se dernier se faisant par émission de photons .

La conservation de l'énergie impose que l'énergie de la désintégration  se répartit entre l'énergie cinétique des deux produits résiduels.

  (44.68)

La conservation de la quantité de mouvement nous donne:

  (44.69)

et donc:

  (44.70)

que nous remplaçons dans l'équation de conservation de l'énergie:

  (44.71)

et on en tire que l'énergie de la particule  vaut:

  (44.72)

vu que les masses du noyau et de la particule  sont environ proportionnelles à leurs nombres de masse, soit A et 4 respectivement.

Voyons les détails du mécanisme de la désintégration  avec une approche scolaire, simplifiée à l'extrême et donc approximative (mais suffisante quand même). Pour cette approche, nous allons utiliser les développements sur l'effet tunnel que nous avons effectué dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire.

Pour des noyaux ayant un nombre de nucléons devenant trop important, la répulsion coulombienne entre protons prend des valeurs significatives par rapport à l'interaction force qui assure la cohésion du noyau. On assiste alors au phénomène de saturation, qui donne lieu à la désintégration  qui est un cas particulier d'une fission spontanée.

Gamow a proposé une explication théorique à ce phénomène en 1928. Il suppose que la particule  préexiste dans le noyau et cogne sur les parois. Elle a alors une probabilité non nulle de franchir la barrière de potentiel du noyau par effet tunnel.

Si par la pensée nous débranchons les interactions coulombiennes, une telle particule  est liée au reste du noyau par un potentiel nucléaire de courte portée  et de profondeur correspondant à une énergie potentielle que nous allons déterminer.

Schématiquement dans le cas de l'Uranium 238 la situation est considérée comme la suivante:

  (44.73) Source: Pour la Science

En physique classique on représenterait l'émission  comme la fuite du noyau à partir du noyau. Cette représentation n'est pas valable, car elle implique que la particule , subissant la répulsion électrostatique du noyau résiduel de Thorium 234 s'en éloignerait  avec une énergie d'environ 25 [MeV]. Or on retrouve la faible valeur observée expérimentalement (de seulement 4.2 [MeV]) qu'en faisant appel à la physique quantique.

Bon passons à la partie mathématique:

Branchons la répulsion coulombienne entre la particule  de charge +2e (deux protons et deux neutrons) et le reste du noyau, alors de charge +(Z-2)e à l'extérieur du puits de potentiel nucléaire.

Nous obtenons alors l'expression de l'énergie potentielle (cf. chapitre d'Électrostatique):

  (44.74)

où r est la distance entre le centre du noyau et la particule . L'énergie potentielle diminue donc avec la distance puisque la force est répulsive.

Maintenant, ayons une approche qualitative du phénomène. Nous allons maintenant noter la probabilité T de passage comme étant proportionnelle, selon nos résultats dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire, à:

  (44.75)

en sachant qu'il s'agit suite à nos approximations à une borne inférieure indicative.

Si nous modélisons la barrière de potentiel du noyau par un profil non rectangulaire tel que présenté ci-dessous:

  (44.76)

où nous remplaçons le profil réel de la courbe par une série de barrières d'épaisseur  et où le potentiel est égal à  au point .

La probabilité de passer une barrière sera donc proportionnelle à:

  (44.77)

et nous savons (cf. chapitre de Probabilités) que la probabilité de passer une des barrières est un événement indépendant (mutuellement exclusifs). Nous pouvons donc multiplier les probabilités tel que:

  (44.78)

et en passant à la limite il vient:

  (44.79)

et si x est assimilé à un rayon d'une configuration à symétrie sphérique:

  (44.80)

Dans le cas d'un noyau , la barrière de potentiel va de  où elle commence jusqu'à  valeur où la barrière est considérée comme négligeable.

Or, l'énergie potentielle du noyau  en tout point distant r du a l'extérieur du bord du noyau de l'atome radioactif sera égal, comme nous l'avons vu un peu plus haut à:

  (44.81)

Nous avons donc pour :

  (44.82)

Pour déterminer  du noyau  émis, il faut savoir que son énergie totale est supposée conservée dans ce modèle simplifié. Elle est donc la même avant son passage dans la barrière de potentiel nucléaire lorsque , pendant, et après .

De plus, dans ce modèle, l'énergie cinétique aussi est supposée constante lorsque . Autrement dit, puisque le noyau  préexiste dans le noyau de l'atome radioactif il a déjà la vitesse finale qu'il aura lors du point de franchissement de la barrière du potentiel nucléaire…

Donc sous toutes ces hypothèses très simplificatrices… si nous savons déterminer l'énergie totale du noyau  en  (par exemple), à la sortie de la barrière, nous avons son énergie totale lors de l'ensemble du phénomène de traversée de la barrière.

Réciproquement, son énergie totale nécessaire pour sortir en  de la barrière de potentiel par effet tunnel en partant du noyau (et partir ensuite loin à l'infini et gagner en énergie cinétique et perdre toute son énergie potentielle coulombienne) est la même par hypothèse que l'énergie totale obtenue en calculant le travail de la force qui d'une distance infinie du noyau de l'atome radioactif ramènerait le noyau  à la vitesse précitée au point de sortie minimal  (rayon minimal de sortie pris comme constant car très éloigné en ordres de grandeur par rapport au noyau de l'atome radioactif).

Ce qui correspond alors à la différence d'énergie potentielle entre un point à l'infini et . Et comme l'énergie potentielle est nulle à l'infini pour un système répulsif, il ne reste plus que le terme:

  (44.83)

Et finalement:

  (44.84)

valable toujours que pour  (c'est comme si pendant la traversée de la barrière, le noyau  restituait de l'énergie cinétique au vide au fur et à mesure de son approche du point , ceci dit, en mécanique quantique on ne peut pas utiliser l'interprétation de la mécanique classique).

Or, très souvent dans les laboratoires,  est exprimé comme une constante suffisamment loin du noyau de l'atome radioactif. Il est alors relativement naturel (même si c'est du bricolage) de prendre r comme variable d'intégration tel que:

  (44.85)

et il est de tradition de prendre ensuite :

  (44.86)

ce qui nous amène à:

  (44.87)

Faisons maintenant le changement de variables (la dérivation du  est détaillée dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

  (44.88)

d'où:

  (44.89)

et en notant:

  (44.90)

L'intégrale:

  (44.91)

devient:

  (44.92)

Concernant les bornes nous avons pour rappel:

  (44.93)

Donc si r vaut  nous écrivons la borne comme étant  et si r vaut  alors:

  (44.94)

Il vient alors:

  (44.95)

Nous avons vu dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral:

  (44.96)

Donc:

  (44.97)

Alors:

  (44.98)

Ce qui fait:

  (44.99)

Or, nous avons aussi (cf. chapitre de Trigonométrie):

  (44.100)

Donc:

  (44.101)

Rappelons à nouveau que:

  (44.102)

Or,  donc .

Si nous développons en série de MacLaurin (cf. chapitre de Suites et Séries) jusqu'au troisième ordre:

  (44.103)

Alors:

  (44.104)

Nous avons alors:

  (44.105)

Si on prend le développement de MacLaurin au premier ordre:

  (44.106)

Donc:

  (44.107)

Donc tout cela pour écrire finalement:

  (44.108)

Soit explicitement:

  (44.109)

Relation à laquelle nous pouvons remettre le coefficient de l'exponentielle que nous avions déterminé dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire.

Typiquement pour le noyau d'Uranium , nous prenons les valeurs dans les tables des constantes physiques et universelles qui sont dans la relation précédente pour obtenir une certaine valeur de T (je m'abstiendrai de montrer le calcul car les tables ne sont pas toutes d'accord entre elles…).

Ensuite, dans l'approximation semi-classique, le noyau  a, dans le puits, une vitesse de l'ordre de:

  (44.110)

et il effectue des allers-retours dans un noyau dont le rayon est de l'ordre de .

Ces allers-retours correspondant donc à un certain nombre d'oscillations par seconde. Effectivement, si nous notons  la durée moyenne entre deux chocs successifs, nous avons alors:

  (44.111)

Donc la fréquence vaut:

  (44.112)

A chaque fois elle a une probabilité T de franchir la barrière de potentiel. Cette probabilité par unité de temps est ainsi détermine par :

  (44.113)

et donne la constante de désintégration de l'isotope par émission  avec une relativement grosse erreur si on fait le calcul avec les valeurs numériques mais l'ordre de grandeur est par contre exact ce qui pas mal du tout! Le modèle (scolaire) présenté donne donc des résultats satisfaisants.

Ce qui est impressionnant dans ce résultat c'est que puisque T est très très sensible à , les ordres de grandeurs de  varient énormément pour de petites variations de l'énergie. Et le modèle reste aussi satisfaisant sur environ 30 ordres de grandeurs!!!

DÉSINTEGRATION BETA- (4)

Définition: Lorsqu'un noyau est instable à cause d'un trop plein de neutrons (comme le Carbone 14 par exemple) il n'émettra pas de neutrons. En revanche il aura la faculté de changer un de ses neutrons en un proton. Lors de cette transformation, pour conserver la charge électrique totale du système, un électron sera créé. Cette transformation est la "radioactivité bêta-" (- car l'électron à une charge négative dans cette désintégration).

La désintégration dite  est donc une caractéristique des noyaux ayant un excès de neutrons. Les isotopes concernés se rendent plus stables en transformant un neutron en un proton avec émission d'un électron  et d'une particule appelée "antineutrino" dont nous justifierons l'introduction plus loin.

Nous avons alors pour le neutron concerné:

  (44.114)

Nous avons mis en suffixe droite le spin de la particule concernée et en indice droite le signe de charge de la particule. Ainsi, nous observons que le spin est une quantité conservée, ainsi que la charge.

Nous avons pour l'isotope concerné:

 (ex: )   (44.115)

L'énergie dégagée lors de la transmutation se calcule au moyen du défaut de masse:

  (44.116)

en négligeant l'énergie de liaison des électrons nous avons :

 et   (44.117)

Attention! le Z dans l'égalité de  est le même que celui que nous trouvons dans l'expression de  d'où le Z + 1.

Nous avons alors: 

  (44.118)

Chaque désintégration  pure est caractérisée par une énergie fixe de décroissance Q. Du fait que l'énergie cinétique du noyau est négligeable de par sa masse à celle du l'électron et de l'antineutrino réunis, l'énergie dégagée Q est partagée entre les énergies cinétique du  et de . La masse de l'antineutrino étant très loin inférieure à celle de l'électron, l'énergie cinétique de l'antineutrino peut donc être négligée. Ainsi, l'énergie du  n'est cependant pas fixe et peut avoir n'importe quelles valeurs entre 0 et Q. Nous observons donc un spectre d'énergie contrairement aux autres types de radioactivité (car l'antineutrino peut avoir une énergie cinétique variable).

La forme des distributions observées permet de donner une valeur d'énergie moyenne aux  qui se situe autour de Q/3:

  (44.119)

L'existence de l'antineutrino a été postulée en 1933 (3 ans après le neutrino que nous verrons plus loin) par Wolfgang Pauli afin de satisfaire la conservation de spin. L'introduction d'une particule aussi étrange fut très controversée et mal acceptée (charge nulle, spin non nul, masse négligeable) et elle continue à poser quelques problèmes dans la physique contemporaine du 21ème siècle.

Indépendamment du neutrino d'électron (noté  habituellement) accompagnant les particules  et (ce dernier ayant plusieurs noms "positon", "positron", "électron positif") il existe un neutrino de méson  ou  appelés:  et  pour ne pas les confondre. Par la suite, n'étant pas confronté aux neutrinos de méson, nous noterons simplement  à la place de .

Remarque: Au début de sa découverte, la désintégration était vue comme une transmutation du noyau..., dans les petites classes, encore aujourd'hui, on la voit comme la transformation d'un neutron en proton. Dans les théories contemporaines, elle est vue comme d'un quark d en quark u et elle a amené les physiciens à développer la théorie de l'interaction faible pour en expliquer l'origine.

dÉsintegration b+ (5)

Définition: Lorsqu'un noyau est instable à cause d'un trop plein de protons il n'émettra pas de protons. En revanche, il aura la faculté de changer un de ses protons en neutron, soit par capture d'un électron, phénomène appelée "radioactivité par capture électronique" (voir plus bas), soit par émission d'un électron positif (positon) ce qui correspond à la "radioactivité bêta+".

Cette transformation a une probabilité ridiculement faible puisque l'inverse de l'émission d'un électron et d'un antineutrino serait la capture simultanée de ces deux particules... et une telle rencontre serait un miracle. Pour surmonter cette difficulté, le noyau utilise un subterfuge quantique: l'émission d'une particule équivaut à la capture de sont antiparticule. Ce joker offre alors les possibilités susmentionnées au noyau excédentaire en protons.

Lors de la désintégration  un proton est dissocié en un neutron, un électron positif ("positon" noté   et un neutrino dont nous justifierons l'introduction un peu plus bas) et un neutrino.

Effectivement, pour effectuer l'inverse de la désintégration , la solution consiste pour le noyau à utiliser la conservation de l'énergie et du spin en émettant un positon et en capturant dans l'énergie quantique du vide un antineutrino et d'émettre en échange un neutrino.

Nous écrivons cela:

  (44.120)

ou:

  (44.121)

L'énergie dégagée lors de la transmutation se calcule au moyen du défaut de masse:

  (44.122)

en négligeant l'énergie de liaison des électrons nous avons :

 et   (44.123)

Attention! le dans l'égalité de  est le même que celui que nous trouvons dans l'expression de  d'où le

Nous avons ainsi :

  (44.124)

La désintégration  ne peut donc avoir lieu que si , c'est-à-dire si:

  (44.125)

L'énergie massique de l'électron  est importante car c'est l'énergie d'un des deux photons résultant d'une annihilation d'un  avec un électron.

Comme pour la désintégration , l'énergie du  n'est pas fixe et peut avoir n'importe quelles valeurs entre 0 et . Nous observons donc un spectre d'énergie.

capture Électronique (6)

Définition: Lorsqu'un noyau est instable à cause d'un trop plein de protons par rapport aux neutrons, nous savons donc qu'une solution favorable du point de vue de son énergie est de transformer un de ses protons en neutrons c'est à dire de réaliser l'inverse de la radioactivité . Nous avons vu tout à l'heure qu'une possibilité était pour le noyau via la désintégration d'attraper un antineutrino du vide et d'émettre un positon (perte de sa charge électrique) et un neutrino. Mais il peut aussi capturer un électron du cortège électronique (neutralisation de sa charge électrique) en lieu et place d'émettre un positon.

Le plus souvent un électron de la couche K. Ce qui se note :

  (44.126)

L'énergie dégagée lors de la transmutation se calcule au moyen du défaut de masse:

  (44.127)

en supposant que l'énergie de liaison de l'électron K et celle de recul du noyau sont négligeables.

C'est donc le neutrino d'électron qui emporte tout l'énergie, d'où la nécessité qu'avait eu Wolfgang Pauli d'introduire cette nouvelle particule (ce qu'il lui avait fait horreur...!). Comme l'électron capturé occupait un niveau d'énergie précis dans l'atome, les neutrinos issus de la désintégration d'un isotope par capture électronique ont une énergie déterminée et présentent donc un spectre de raies.

En négligeant l'énergie de liaison des électrons nous avons :

 et   (44.128)

donc:

  (44.129)

La désintégration par capture électronique est en concurrence avec la désintégration  que si